最大公约数算法

1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法

1). 欧几里德算法

　　两个欧几里德算法又称辗转相除法, 这是历史上第一个整数关系的算法， 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
　　定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

　　证明：
  　　a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
  　　假设d是a, b的一个公约数， 则有  d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
 　　 因此，d是(b, a mod b)的公约数。
  　　加上d是(b，a mod b)的公约数，则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
  　　因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

　　欧几里德算法的C语言描述为：

int gcd(int a,  int b)
{
    int temp;
    while (b != 0)
    {
        temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

2.Stein 算法

　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

　　

　　由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

　　　　gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

　　　　gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

　　Stein 算法C语言描述：

int gcd_stein (int a, int b)
{
    if( a < b)
    {
        int temp;
        temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    
    else if (b == 0)
        return a;
    else if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0)
    {
        return 2 * gcd_stein(a / 2 ,  b / 2);
    }
    else if (a % 2 == 0)
    {
           return gcd_stein(a / 2,     b) ;
    }
    else if (b % 2 == 0)
    {
        return gcd_stein(a, b / 2);
    }
    else 
    {
        return gcd_stein( (a + b) / 2, (a - b) / 2);
    }
}

 

最大公约数算法的应用：

 

扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的一种方法，常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元，而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。