跳跃表

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一. 背景

　　跳跃表（英文名：Skip List），于 1990 年 William Pugh 发明，是一个可以在有序元素中实现快速查询的数据结构，其插入，查找，删除操作的平均效率都为 O(logn)。

　　跳跃表的整体性能可以和二叉查找树（AVL 树，红黑树等）相媲美，其在 Redis 和 LevelDB 中都有广泛的应用。

　　每个结点除了数据域，还有若干个指针指向下一个结点。

　　整体上看，Skip List 就是带有层级结构的链表（结点都是排好序的），最下面一层（level 0）是所有结点组成的一个链表，依次往上，每一层也都是一个链表。不同的是，它们只包含一部分结点，并且越往上结点越少。仔细观察你会发现，通过增加层数，从当前结点可以直接访问更远的结点（这也就是 Skip List 的精髓所在），就像跳过去一样，所以取名叫 Skip List（跳跃表）。

二. 过程分析

　　先来看下跳跃表的整体代码结构：

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

struct Node
{
    int key;
    Node ** forward;
    Node(int key = 0, int level = MAX_LEVEL)
    {
        this->key = key;
        forward = new Node*[level];
        memset(forward, 0, level * sizeof(Node*));
    }
};

class SkipList
{
private:
    Node * header;
    int level;
private:
    int random_level();
public:
    SkipList();
    ~SkipList();
    bool insert(int key);
    bool find(int key);
    bool erase(int key);
    void print();
};

2.1 插入

　

　　首先，我们要找到 10 在每一层应该被插入的位置，因此需要一个临时数组update[]来记录位置信息。

　　其次，我们要确定结点 10 的层数（结点 9 的层数为 2，结点 12 的层数为 1）。

　　理想的跳跃表结构是：第一层有全部的结点，第二层有 12 的结点，且是均匀间隔的，第三层有 14 的结点，且也是均匀间隔的...，那么整个表的层数就是 logn。每一次插入一个新结点时，最好的做法就是根据当前表的结构得到一个合适的层数，插入后可以让跳跃表尽量接近理想的结构，但这在实现上会非常困难。Pugh 的论文中提出的方法是根据概率随机为新结点生成一个层数，具体的算法如下：

1. 给定一个概率 p（p 小于 1），产生一个 [0,1) 之间的随机数；

2. 如果这个随机数小于 p，则层数加 1；

3. 重复以上动作，直到随机数大于概率 p（或层数大于程序给定的最大层数限制）。

　　虽然随机生成的层数会打破理想结构，但这种结构的期望复杂度依旧是 O(logn)，稍后文尾会给出证明。

　　最后，把结点 10 和它的前后结点连起来就行了。

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

bool SkipList::insert(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    memset(update, 0, MAX_LEVEL * sizeof(Node*));

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node == nullptr || node->key != key)
    {
        int new_level = random_level();

        if (new_level > level)
        {
            for (int i = level; i < new_level; i++)
                update[i] = header;

            level = new_level;
        }

        Node * new_node = new Node(key, new_level);

        for (int i = 0; i < new_level; i++)
        {
            new_node->forward[i] = update[i]->forward[i];
            update[i]->forward[i] = new_node;
        }

        return true;
    }

    return false;
}

2.2 查找

　　查找操作很简单，例如上图，现要查找 20，

1. 从最高层开始找，17 < 20，继续往后，发现是NULL，则往下一层继续查找；

2. 25 > 20，则往下一层继续查找；

3. 找到 20。

bool SkipList::find(int key)
{
    Node * node = header;

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key <= key)
            node = node->forward[i];

        if (node->key == key)
            return true;
    }

    return false;
}

2.3 删除

　　删除操作跟插入操作类似。 首先找到我们要删除结点的位置，在查找时使用临时空间来记录结点在每一层的位置，接着就是逐层的链表删除操作。 最后记住要释放空间。 删除结点之后，如果最高层没有结点存在，那么相应的，跳跃表的层数就应该降低。

bool SkipList::erase(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    fill(update, update + MAX_LEVEL, nullptr);

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node && node->key == key)
    {
        for (int i = 0; i < level; i++)
            if (update[i]->forward[i] == node)
                update[i]->forward[i] = node->forward[i];

        delete node;

        for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
        {
            if (header->forward[i] == nullptr)
                level--;
            else
                break;
        }
    }

    return false;
}

三. 完整代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

using namespace std;

struct Node
{
    int key;
    Node ** forward;
    Node(int key = 0, int level = MAX_LEVEL)
    {
        this->key = key;
        forward = new Node*[level];
        memset(forward, 0, level * sizeof(Node*));
    }
};

class SkipList
{
private:
    Node * header;
    int level;
private:
    int random_level();
public:
    SkipList();
    ~SkipList();
    bool insert(int key);
    bool find(int key);
    bool erase(int key);
    void print();
};

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

SkipList::SkipList()
{
    header = new Node;
    level = 0;
}

SkipList::~SkipList()
{
    Node * cur = header;
    Node * next = nullptr;

    while (cur)
    {
        next = cur->forward[0];
        delete cur;
        cur = next;
    }

    header = nullptr;
}

bool SkipList::insert(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    memset(update, 0, MAX_LEVEL * sizeof(Node*));

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node == nullptr || node->key != key)
    {
        int new_level = random_level();

        if (new_level > level)
        {
            for (int i = level; i < new_level; i++)
                update[i] = header;

            level = new_level;
        }

        Node * new_node = new Node(key, new_level);

        for (int i = 0; i < new_level; i++)
        {
            new_node->forward[i] = update[i]->forward[i];
            update[i]->forward[i] = new_node;
        }

        return true;
    }

    return false;
}

bool SkipList::find(int key)
{
    Node * node = header;

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key <= key)
            node = node->forward[i];

        if (node->key == key)
            return true;
    }

    return false;
}

bool SkipList::erase(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    fill(update, update + MAX_LEVEL, nullptr);

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node && node->key == key)
    {
        for (int i = 0; i < level; i++)
            if (update[i]->forward[i] == node)
                update[i]->forward[i] = node->forward[i];

        delete node;

        for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
        {
            if (header->forward[i] == nullptr)
                level--;
            else
                break;
        }
    }

    return false;
}

void SkipList::print()
{
    Node * node = nullptr;

    for (int i = 0; i < level; i++)
    {
        node = header->forward[i];
        cout << "Level " << i << " : ";
        while (node)
        {
            cout << node->key << " ";
            node = node->forward[i];
        }
        cout << endl;
    }

    cout << endl;
}

int main()
{
    SkipList sl;

    // test "insert"
    sl.insert(3);
    sl.insert(9);
    sl.insert(1); sl.insert(1);
    sl.insert(4);
    sl.insert(2); sl.insert(2);
    sl.insert(5);
    sl.insert(6);
    sl.insert(7);
    sl.insert(8);
    sl.insert(10);
    sl.insert(11);
    sl.insert(12);
    sl.print();

    // test "find"
    cout << sl.find(50) << endl;
    cout << sl.find(2) << endl;
    cout << sl.find(7) << endl << endl;
    
    // test "erase"
    sl.erase(1);
    sl.print();
    sl.erase(10);
    sl.print();
    sl.erase(11);
    sl.print();
  
    return 0;
}

运行如下（注意：结点层数采用的是随机值，故不同电脑可能会有不同的运行结果）：

四. 效率分析与证明

　　首先回顾下插入操作中随机生成层数的函数：

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

　　下文中我们用小写的p来代替上述代码大写的常量P。

1. 查找的期望时间复杂度

　　设 T(n) 表示 n 个结点的跳跃表中查找的期望路径长度。

　　它分为三部分：

1. 第 1 层至最高层构成的跳跃表中查找的期望路径长度。此部分相当于一个期望规模为 O(pn) 的跳跃表的期望路径长度；

2. 从第 1 层下降至第 0 层的一条指针；

3. 在第 0 层右行的路径长度。每次能够右行的概率为 1−p。

　　于是：

 

　　T(n)=T(pn)+1+(1−p)+(1−p)2+(1−p)3+...=T(pn)+1/p

 

　　解函数得到：

 

　　

2. 单一结点的期望层数

• 结点层数恰好等于 1 的概率为 1−p；

• 结点层数恰好等于 2 的概率为 p(1−p)；

• 结点层数恰好等于 3 的概率为 p²(1−p)；

• ......

那么一个结点的期望层数计算如下：

 

3. 期望空间复杂度

对于一个有 n 个结点的跳跃表，其期望空间复杂度为：

4. 最大层数分析

　　设最大层数为 h，则 h 不超过 m 的概率为：

 

　　P(h≤m)=(1−p^m−1)ⁿ

 

当没有最高层限制的时候（即 h→+∞）才是真正的 Skip List，但是实际应用中为了程序实现简单，往往设置这样一个常数 h。根据刚才对最高层概率的分析，我们可以选取一个适当的 h。比如，对于 ，p=1/4，n=10⁶ 时，取 h=16 就是一个不错的选择（个人觉得，参照 BST 来，直接取 h=log₂n 就可以）。此时

 

5. p 的综合分析

　　根据上述第 1 点所求的查找时间复杂度，进一步化简：

 

　　我们只需讨论左边的表达式即可，

 

　　对其求导可得以下信息：

 

　　针对 p=1/e,1/2,1/4，绘制的综合分析表格如下：

p	空间复杂度	时间复杂度
1/e	O(1.58n)	O(1.88log2n)
1/2	O(2n)	O(2log2n)
1/4	O(1.33n)	O(2log2n)

　　从时空权衡来看，1/e 和 1/4 是比较好的选择。

　　Redis 使用的后者，我在 Redis 的 Pull Request 上发现有人 pull 了一条 request：Change skip list P value to 1/e, which improves search times，但最终能否被采用还是未知数。