CF889E Mod Mod Mod

CF889E Mod Mod Mod

题意

$$f(x,n)=x\mathrm{mod}{a}_n$$

$$f(x,i)=(x\mathrm{mod}{a}_i)+f(x\mathrm{mod}{a}_i,i+1)$$

题解

很有意思的一题啊。
首先我们想一下已经固定了 $x$ 改怎么快速做。
显然我们在序列中找到第一个比自己小的数进行操作。
取完模之后值域会变为前面的一半，所以最多只会跳 $logV$ 段。

但这样并没有什么栾用，不好确定 $x$，所以考虑 $dp$。
设 $b_i$ 为操作到 $i$ 时得到的数，$f_{i,j}$ 表示操作到 $i,b_i=j$ 时 $max\sum _{j=1}^{j\le i}{b}_j$。
这个 $dp$ 直接按照操作去转移很简单，但是状态数和值域有关，会寄掉。

这样太难搞了，值域太大，而且没有什么特殊性质去做，很难办。

发现一个性质。
若 $b_i\ne 0$，则若初始值变为 $x+1$，并且操作到 $i$ 时 $b_i^{\prime }\ne 0$，则 $b_i^{\prime }=b_i+1$ 。

根据这个性质我们就可以推出另一个结论，一个比较有的初始值至少会到一个 $i$ 时使得 $k=a_i-1$。

现在计算答案的方式有些复杂，注意到答案可以写成 $xn-y$ 的形式，选一个 $x$ 为基准线，$y$ 就是得到的差值。
修改一下 $dp$ 的状态，设 $f_{i,j}$ 表示 操作到 $i$，基准线为 $j$ 的最大的 $y$ 。
这个的转移容易通过一个简单的增量得到，$f_{i,j^{\prime }}=f_{i,j}+(j-j^{\prime })i$ 。

这个状态结合之前得到的性质之后就有一个优雅的性质。
$\mathrm{\forall }j<i,b_j\ne 0$，则 $[0,b_i]$ 对应的 $y$ 都相等，可以由第一个性质证明。
所以可以再次优化状态 $f_{i,j}$ 表示 $[0,j]$ 对应的最大的 $y$，再考虑枚举 $k，k<j$，进行转移。
根据第二个性质可以得到最优决策点，可得转移:

$$f_{i+1,j\mathrm{\%}{a}_{i+1}}=max(f_{i,j}+i(j-j\mathrm{\%}{a}_{i+1}))$$

$$f_{i+1,a_{i+1}-1}=max(f_{i,j}+i(\lfloor \frac{j+1}{a_{i+1}}\rfloor a_{i+1}-a_{i-1}))$$

上面是直接转移，后面是找到满足 $b_i=a_{i+1}-1$ 的最优决策点。
用 map转移即可。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rg register
#define pc putchar
#define gc getchar
#define pf printf
#define space pc(' ')
#define enter pc('\n')
#define me(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define pb push_back
#define FOR(i,k,t,p) for(rg int i(k) ; i <= t ; i += p)
#define ROF(i,k,t,p) for(rg int i(k) ; i >= t ; i -= p)
using namespace std ;
bool s_gnd ;
inline void read(){}
template<typename T,typename ...T_>
inline void read(T &x,T_&...p)
{
    x = 0 ;rg int f(0) ; rg char c(gc()) ;
    while(!isdigit(c)) f |= (c=='-'),c = gc() ;
    while(isdigit(c)) x = (x<<1)+(x<<3)+(c^48),c = gc() ;
    x = (f?-x:x) ;
    read(p...);
}
int stk[30],tp ;
inline void print(){}
template<typename T,typename ...T_>
inline void print(T x,T_...p)
{
    if(x < 0) pc('-'),x = -x ;
    do stk[++tp] = x%10,x /= 10 ; while(x) ;
    while(tp) pc(stk[tp--]^48) ; space ;
    print(p...) ;
}
bool S_GND ;
const int N = 2e5+5 ;
int n,ans ;
int a[N] ;
map<int,int>f ;
signed main()
{
//cerr<<(double)(&s_gnd-&S_GND)/1024.0/1024.0 ;
//	freopen(".in","r",stdin) ;
//	freopen(".out","w",stdout) ;
    read(n) ;
    FOR(i,1,n,1) read(a[i]) ;
    f[a[1]-1] = 0 ;
    FOR(i,1,n-1,1)
    {
        for(auto it = f.lower_bound(a[i+1]) ; it != f.end() ; f.erase(it++))
        {
            auto [x,y] = *it ;
            f[x%a[i+1]] = max(f[x%a[i+1]],y+(x-x%a[i+1])*i) ;
            f[a[i+1]-1] = max(f[a[i+1]-1],y+((x+1)/a[i+1]*a[i+1]-a[i+1])*i) ;
        }
    }
    for(auto [x,y]:f) ans = max(ans,x*n+y) ; print(ans) ;
    return 0 ;
}