线段树
线段树概述
线段树是一种二叉搜索树,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树中的一个叶节点。
线段树是建立在线段的基础上,每个结点都代表了一条线段[a , b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点,左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2],右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 + 1 , b]。
它的优势在于可以基本保证每个操作的复杂度为O(lgn).
上图是一个非常简单的线段树。
基本操作
一棵线段树一般要支持三种操作:建树(build)、查询(search)和更新(update)。
建树
让根节点表示区间[0,N-1],即所有N个数所组成的一个区间。然后,把区间分成两半,分别由左右子树表示。不难证明,这样的线段树的节点数只有2N-1个,是O(N)级别的。
线段树的结构如下:
struct node { /* data */ int left, right, mid; //其它数据 };
其它的节点信息根据应用情况而定。
显然,线段树的构造是一个递归过程:
void makeTree(int start, int end, int c) { tree[c].left = start; tree[c].right = end; tree[c].mid = ((start+end)>>1); tree[c].max = 0; if (start == end) { //其它操作 return; } makeTree(start, tree[c].mid, (c << 1)); makeTree(tree[c].mid+1, end, (c << 1) | 1); //其他操作 }
查询
查询操作也是一个递归过程。对一个节点的查询要通过综合其左右子节点的查询结果。
void search(int start, int end, int c) { if (tree[c].left==start && tree[c].right==end) { //其它操作 return ; } if (start > tree[c].mid) search(start, end, (c<<1)|1); else if (end <= tree[c].mid) search(start, end, c<<1); else { search(start, tree[c].mid, c<<1); search(tree[c].mid+1, end, (c<<1)|1); } }
更新
当用户修改一个区间的值时,如果连同其子孙全部修改,则改动的节点数必定会远远超过O(log n)个。因而,如果要想把区间修改操作也控制在O(log n)的时间内,只修改O(log n)个节点的信息就成为必要。
借鉴前一节区间查询用到的思路:区间修改时如果修改了一个节点所表示的区间,也不用去修改它的儿子节点。然而,对于被修改节点的祖先节点,也必须更新它所记录的值,否则查询操作就肯定会出问题。
解决方案是Lazy思想:对整个结点进行的操作,先在结点上做标记,而并非真正执行,直到根据查询操作的需要分成两部分。
应用场景
(1):连续区间和;
(2):区间覆盖问题;
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