CF1097D Makoto and a Blackboard

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luogu

一个数变到它的任意一个因数概率都是相同的,不过因为一个数可以拆成\(\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{b_i}\),并且\(p^b\)变到\(p^0,p^1...p^b\)的概率都是\(\frac{1}{b+1}\),所以一个数变到它的一个因数\(x\)的概率就可以先算各个质因子次数变到\(x\)质因子次数概率,然后乘起来.用这样的推到,可以知道这个期望可以拆成只考虑某种质因子\({p_i}^{b_i}\)值的期望的乘积

所以可以暴力dp,如果现在考虑的是\(p_i\)设\(f_{j,k}\)表示第\(j\)轮,现在数是\({p_i}^k\)的概率,然后直接\(\sum\)概率\(*\)权值得到期望,总复杂度\(O(\sqrt{n}+klog^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db double

using namespace std;
const int mod=1e9+7;
LL rd()
{
    LL x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
LL n,prm[15];
int kk,cn[15],tt,ans=1,f[2][55],inv[55];

int main()
{
    ////////////
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=50;++i) inv[i]=(mod-1ll*mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;
	n=rd(),kk=rd();
	int sqt=sqrt(n);
	for(int i=2;n>1&&i<=sqt;++i)
		if(n%i==0)
		{
			prm[++tt]=i;
			while(n%i==0) ++cn[tt],n/=i;
		}
	if(n>1) prm[++tt]=n,cn[tt]=1;
	for(int i=1;i<=tt;++i)
	{
		int nw=1,la=0;
		f[la][cn[i]]=1;
		for(int j=1;j<=kk;++j)
		{
			for(int k=cn[i];~k;--k)
			{
				if(!f[la][k]) continue;
				for(int l=k;~l;--l)
					f[nw][l]=(f[nw][l]+1ll*f[la][k]*inv[k+1]%mod)%mod;
				f[la][k]=0;
			}
			nw^=1,la^=1;
		}
		int sm=0;
		LL a=1;
		for(int j=0;j<=cn[i];++j,a*=prm[i])
			sm=(sm+a%mod*f[la][j]%mod)%mod;
		ans=1ll*ans*sm%mod;
		memset(f[la],0,sizeof(f[la]));
	}
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}