一道挺有意思的题目探究——不稳定的道路

题目简述：

给你一个无向图，n个点，m条边，每条边有两个权值，c和d

通过一条边的时间为  c+d/(t+1)   t为当前时刻（后半部分向下取整）

可以在任意一个点停留任意时间

询问1到n的最短路

 

对于一条边的通过时间而言，与开始时间 t 构成一个对勾函数，即单峰函数

向下取整会有平台。对勾函数的底就是sqrt(d)。

解法主要有两种，

一是跑最短路，每个点松弛的时候判断当前时间是否到达sqrt(d)，没到达一定要等

二是在中间过程的时候实数域上三分

 

其实上面的东西都很平凡，签到题而已

重点是下面

我当时问了一个问题

“我把所有等的时间都在起点等了，然后再跑，是更优还是更劣还是本质一样？”

然后事情就开始离谱了

 

有人认为会更劣

从函数角度分析中间取值会更劣

 

有人认为等价不变

从dij的贪心角度分析全局运作不会改变

 

有人认为更优

尤其是sandom，他认为：显然更优

 

还有说不一定的

就略显离谱

反正在我的视角里最后也没有讨论出来

或者说没有人能给出一个严谨的证明或给出一个反例

 

后来大家也就可能都把这事忘了

或者说自己大概想了想认为能理解过去自己的想法就没有在意

但我是一直对这个问题的严谨答案挺有兴趣

因为我听了四波人给我四种不同答案的感性证明

所以我的思维是混乱的，要我自己给个证明完全不可能

 

那么我的思路很简单（暴力）

（其实严格意义上讲是kaguya给的思路

不过这个思路其实也不是很难想，就是跑出来记录中间点再用另一种方式再跑比较经过点

所以没必要区分这么严谨

我之所以要提这么一句是因为今天T4我赛时思路跟他一模一样，也是拍成链处理区间交，真就是一模一样

包括后面线段树里开线段树的预设性处理也想到了

然后他那个hash（随机赋权）的转化简直tmd帅炸了，我tm真是服了

我考场写完T1和T4的100分暴力之后

整整三个小时一直在想怎么处理T4的区间交，一直在想一些数据结构嵌套

他讲题的时候说出hash的时候，我一下就坐直了，我真的，那种感觉，你懂吧，真tmd是妙

考试这个题不恍惚三个小时区间交是无法理解他这个思路有多神的）

好像扯远了

先用正解跑出答案

记录在每个点的停留时间

再把这些时间都给到起点

再从起点开始跑，看两次经过的点和最后时间是否一样

 

2023.2.18填坑：

去年11月的博客了，当时写的代码也没存，也懒得再搞一次了

最后是跑出来了，但是结论我忘了，总之在起点把时间全给确实是有问题

但是它那个问题我依稀记得不是通俗说法，好像是一种很诡异而奇妙的方式错了

放两张对拍截图得了