dp

Dexter considers a permutation of first N natural numbers good if it doesn’t have x and x+1 appearing
consecutively, where (1 ≤ x < N). For example, for N = 3, all good permutations are:
1. {1, 3, 2}
2. {2, 1, 3}
3. {3, 2, 1}
Input
Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.
Each case starts with a line containing an integer N (1 ≤ N ≤ 106
).
Output
For each case, print the case number and the number of good permutations modulo 1000 000 007.
Sample Input
3
2
3
5
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 3
Case 3: 53

题目大意：

对于整数 1 到 n 进行排列， 如果最终的排列结果没有出现 i + 1 正好在 i 的后一位的情况，就成这个排列是 good 的， 问对于整数 1 到 n 有多少种不同的排列方式是 good 的排列

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define inf 0x7f7f7f7f
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;

ll dp[1000000+10];
int main()
{
    int x,cas,kk=0;
    dp[1]=1;dp[2]=1;dp[3]=3;
    for(int i=4;i<=1e6;i++) dp[i]=(dp[i-1]*(i-1)%mod+(i-2)*dp[i-2]%mod)%mod;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%d",&x);
        printf("Case %d: %lld\n",++kk,dp[x]);
    }
    return 0;
}

　　

这道题是一道推公式的数学题 f[i]表示n=i的good permutations

f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-2)

其中f[i-1]*(i-1)很容易想到对于i-1合法排列插入i（只要i不插在i-1后就可以）这样的空位总共有i-1个

例如对于n=4

_1_3 2_

_2_1_3

_3 2_1_

后面的f[i-2]*(i-2)稍稍难一点，我们可以考虑有一组x x+1相连的情况，只要把 i 插在x x+1之间就合法了。比如考虑n=5 对于2 3 1 4这样一组非法的序列在2 3间插入4就合法了。这时候计算总共有多少个仅有2 3相连的非法序列：

因为仅有2 3相连所以把2 3看做一个整体（我们姑且把这个整体看做2）且要保证这个整体前面不是1后面不是4然后再变换一下：2 3整体看做2    比3大的数减1（这样4就变成了3 就不能排在2后面了 换句话说2 3 4肯定不会连在一起）问题就转化成了求i-2的合法序列数。

2 3 1 4
  2   1 3

像x x+1这样的在i-1中能组成i-2对，所以f[i-2]*(i-2)

这样就推出f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-2)