MX Weekly 赛时/VP 记录

X2

前三题简单不写

洛谷 - P10855

傻逼赛时想出两种正确思路都他妈的没仔细想，真糖丸了

不妨将题目中要求的式子化简。

\[\begin{equation} \begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i \gcd(j,i\oplus j)^k&= \sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=j}^n \gcd(j,i\oplus j)^k\\ &=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{x=1}^{\min(2^{18}-1,2n)} \gcd(j,x)^k[j\le x\oplus j \le n] \\ &=\sum\limits_{d=1}^nd^k\sum\limits_{j=1}^ n\sum\limits_{x=1}^{\min(2^{18}-1,2n)} [d\mid j][d\mid x][j\le x\oplus j \le n] \\ \end{split} \end{equation} \]

不妨记 \(f_d\) 为 $\sum\limits_{j=1}^ n\sum\limits_{x=1}^{\min(2-1,2n)} [d\mid j][d\mid x][j\le x\oplus j \le n] $，本质上表示合法的 \(d\mid \gcd(j,x)\) 的数量，记 \(g_d\) 为合法的 \(d=\gcd(j,x)\) 的数量，有 \(g_d=f_d-\sum\limits_{i=1}^n g_i[d\mid i]\)。

考虑如何计算 \(f_d\) ，有异或操作通常在 Trie 上进行操作，将所有合法的 \(x\) 加入 Trie 中，将 \([j\le x\oplus j \le n]\) 差分，只统计 \([x\oplus j \le r]\) 两遍即可，而这是较为容易的，具体见代码。

总复杂度为 \( \mathcal{O}(\sum\limits_{i=1}^n \frac{n}{i}\times \log n)= \mathcal{O}(n\log^2n)\)，可以通过此题。

洛谷 - P10856

怎么都说被出烂了，我怎么没见过？？我怎么没见过？？我怎么没见过？？我怎么没见过？？我怎么没见过？？我怎么没见过？？

若在一次 2 操作前做了若干次 1 操作，我们可以看作只进行了一次 1 操作，因为有结合律。

有区间询问不妨使用线段树，注意到 \(n\) 为 2 的整数次幂，所以线段树的结构类似与 01-trie 的结构，左儿子表示当前这一位为 0 所包含的区间，右儿子表示当前这一位为 1 所包含的区间，一个结点内所有包含的位置的二进制前缀相同，即对于一段线段树上的区间 \([l,r]\)，若其在第 \(i\) 层（从 0 开始，则 \([l,r]\) 二进制前 \(i\) 位相同，后面的位为 \([0,2^{(k-i)}-1]\)。

考虑修改操作 \(x\) 对于一段线段树区间 \([l,r]\) 的变换，不妨设区间 \([l,r]\) 的深度在第 \(i\) 层。

若 \(x\le r-l+1\)，由上发现变换后原先的数还在 \([l,r]\) 中。

若 \(x\ge r-l+1\)，由上发现 \([l,r]\) 的前缀改变了，转换成了另一个区间 \([l',r']\)，且满足两个区间同层且 \([l,r]\) 的固定前缀 \(\oplus\) \(x\) 前 \(i\) 位 \(= [l',r']\) 的固定前缀！ 那么\([l,r]\oplus x\) 变换为 \([l',r'] \oplus x后k-i位\)。

不妨预处理出 \(x\le r-l+1\) 的答案，答案的形式为 \(1+\sum a_{i}\neq a_{i+1}\)，维护后者即可。总复杂度 \(O(n\log n)\)

洛谷 - P10857

本月找时间补