概率论与数理统计的常用分布与相关性质

概率论中的分布有什么用

概率论中的常用分布就相当于建立了一个数学模型，只要符合这个模型的条件，就可以将实际的应用场景带入，使用对应的结论和性质。但在考试中，基本上会直接告诉我们是什么分布，所以只需要掌握公式性质会使用即可

概率论中常用的基本分布大致可分成两类：离散型（例如0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。 离散型随机变量的值集合是有限的或可数无限的，连续型随机变量的值集合是某个区间或多个区间。
注：有的教材中方差用的是$Var(X)$,本文中用$D(X)$表示方差

离散型

0-1分布 X~B(1,p)

背景与定义
做一次伯努利试验（只有两种可能结果，分别用0和1表示）的结果服从0-1分布，例如抛一次硬币出现正面和反面的结果，例如抛骰子出现1点和非1点的结果

分布律
$$P\{X=k\}=p^k{q}^{1-k},k=0,1(0<p<1)$$
其中$p$为一次伯努利实验中成功发生的概率.

期望与方差
0-1分布数学期望为$E(X)=p$, 方差为 $D(X)=p(1-p)$

二项分布 X~B(n,p)

背景与定义
在$n$重独立的伯努利实验中成功的次数服从二项分布$B(n,p)$,其中$p$为一次伯努利实验中成功发生的概率$(0<p<1)$,$k$是$n$次实验中成功的次数.例如独立的抛$n$次硬币，则服从二项分布$B(n,\frac{1}{2})$

分布律
$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
其中$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
特别的，当$n=1$ 时，二项分布就是0-1分布

期望与方差
二项分布$B(n,p)$ 的数学期望为$E(X)=np$, 方差为$D(X)=np(1-p)$

泊松分布 X~P(λ)

背景与定义
单位时间【或单位面积、单位产品等】上稀有事件【不经常发生的事件】发生的次数服从泊松分布.例如如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，机器出现的故障数、自然灾害发生的次数

分布律

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,\dots$$
其中$\lambda$为单位时间内事件发生的次数的期望

关于泊松分布的详细理解和推导可参考：https://blog.csdn.net/qq_42692386/article/details/125916391

期望与方差
$$E(X)=\lambda ;D(X)=\lambda$$

几何分布 X~G（p）

背景与定义
在多次伯努利试验中，事件A成功首次出现时的试验次数k。例如用枪打靶，第一次击中靶时射击的次数

分布律
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p;k=1,2,..$$
$p$为每次试验中事件A发生的概率

期望与方差:
$$E(X)=\frac{1}{p};D(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

几何分布的无记忆性 （考研中不要求掌握）
若$X\sim G(p)$ ,则对任意正整数m与n有: $P(X>m+n|X>m)=P(X>n)$

超几何分布 X~H(N,M,n)

背景与定义
从含有M个不合格产品的N个产品中，不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数服从超几何分布。

分布律
$$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,...,r$$
其中$r=min\{M,n\};M⩽N;n⩽N$ 且n,M,N均为正整数

期望与方差：（考研中不要求掌握）
$$E(X)=n\frac{M}{N}$$
$$D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$

超几何分布的二项近似：当$n<<N$时 超几何分布可用二项分布$B(n,\frac{M}{N})$ 近似，即
$$\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
其中$k=\frac{M}{N}$.即当批量N较大、而抽出样品数n较小时，不返回抽样可看作返回抽样的近似。

连续型

均匀分布X~U[a,b]

背景与定义
落在某一连续的区间中任意等长度的可能性相同，也就是整个区间中概率密度相同

概率密度函数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
概率分布函数
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$$

期望与方差：
$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$
$$D(X)=\frac{(a-b{)}^2}{12}$$

指数分布X~E[λ]

背景与定义
指数分布可以视为泊松分布的对应，独立随机事件发生的时间间隔服从指数分布。例如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔

概率密度函数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
其中$\lambda$为每单位时间发生该事件的次数

概率分布函数
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

期望与方差：
$$E(X)=\frac{1}{\lambda }$$
$$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

更多详细的推导和解释可参考如下文章：https://blog.csdn.net/qq_42692386/article/details/138066899

正态分布 X~N($\mu ,{\sigma }^2$)

背景与定义
正态分布是最常见的分布，即在样本均值附近的样本比较多，而离均值越远的离群点的样本越少。例如一个城市中身高的分布，某个地区的年降水量等都服从正态分布

概率密度函数
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

当 $\mu =0,\sigma =1$时，正态分布就成为标准正态分布
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

期望与方差：
$$E(X)=\mu$$
$$D(X)={\sigma }^2$$

参考文章：
https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89348592
https://blog.csdn.net/u013230189/article/details/109702771