样本量的确定与OC函数

在之前的假设检验文章中我们说过，在样本量固定的情况下，第一类错误的减少必然会导致第二类错误的增加。按照之前的例子，原假设依旧是一家馒头店每天卖出100个馒头，现在如果减少第一类错误（也就是减少显著性水平$\alpha$），也就是如果抽样结果是90-110之间都可以认为这家店店每天卖出100个馒头。相比于认为抽样结果是95-105之间才接受这个原假设，显然有更大的概率认为原假设是正确的（接受$H_0$的概率增加），这会导致对应的两种情况原假设为真和原假设为假的概率都增加，对应第二类错误的概率（$\beta$）增加。

而在实际应用中，我们通常希望可以同时控制第一类错误和第二类错误的概率，从而使正确率更高，这时候就要求抽样是要选取充足的样本量。如何选取样本量使第二类错误的概率控制在预先的范围里呢？为此我们引入OC函数（施行特征函数）：

定义：如果C为参数$\theta$的某检验问题的一个检验法，那么我们设 $\beta (\theta )=P_{\theta }(\mathrm{接受}{H}_0)$为检验法C的施行特征函数或者OC函数，图形称为OC曲线。
也就是 $\beta (\theta )$是在参数为$\theta$的情况下接受原假设$H_0$的概率。

如果这个检验法的显著性水平为 $\alpha$，那么当真值 $\theta \in H_0$时， $\beta (\theta )$为做出正确判断( 在原假设$H_0$为真时接受原假设$H_0$)的概率，如果 $\theta \in H_1$ ，那么这个时候 $\beta (\theta )$就是犯了第Ⅱ类错误的概率。对应的$1-\beta (\theta )$就是作出正确判断的概率，我们称现在这个时候的函数 $1-\beta (\theta )$ 为C的功效函数。对于某一个具体的点 ${\theta }^{\ast }\in H_1$，这个函数表示它在这个点的功效。也就是作出正确判断的概率

正态总体均值检验法的OC函数

Z检验法

首先来看右边检验。它的假设是$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$。

我们首先推导它的OC函数。我们注意到，在右边检验中，它的拒绝域满足条件为 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\ge z_{\alpha }$ 。那么对应的OC函数为：
$$\beta (\mu )=P_{\mu }(接受H_0)=P_{\mu }\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<z_{\alpha }\right\}=P_{\mu }\left\{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<z_{\alpha }-\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right\}=\Phi (z_{\alpha }-\lambda )$$
其中$\lambda =\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$,$\Phi$是正态分布累积函数，有：$\Phi (z_{\alpha })=1-\alpha$.OC函数对应的函数图像如下：

这个函数有如下的性质

1.为$\lambda =\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$的单调递减连续函数
2.${\lim }_{\mu \to {\mu }_0^{+}}\beta (\mu )=1-\alpha ,{\lim }_{\mu \to \infty }\beta (\mu )=0$ ，这是由概率函数的右连续性决定的

很显然我们希望$\mu >{\mu }_0$时函数的值都可以降到$\beta$以下，但是因为${\mu }_0$这个边界点的存在我们做不到让所有的处于拒绝域的值犯第Ⅱ类错误的概率都很低，因为必然会存在在${\mu }_0$附近的$\mu （\mu >{\mu }_0）$使$\beta (\mu )$几乎等于$1-\alpha$.而为了控制第一类错误发生的概率，$\alpha$都设置的很小，所以无论样本量$n$ 多大，对于所有的$\mu >{\mu }_0$，即真值为$H_1$所规定的任意一点，控制犯第二类错误的概率都很小是不可能的。但是可以让$\mu >{\mu }_0$时$\beta (\mu )$的值，也就是犯第二类错误的概率可以急剧下降，这样当$\mu \ge {\mu }_0+\delta$时犯第二类错误的概率$\beta$都可以很小。其中$\delta$是人为给定的，很明显$\delta$越小说明检验法的准确程度越高。

所以最终得到的计算公式为：
$$\beta ({\mu }_0+\delta )=\Phi (z_{\alpha }-\sqrt{n}\delta /\sigma )\le \beta$$
化简可得
$$z_{\alpha }-\sqrt{n}\delta /\sigma \le -z_{\beta }$$

对于左边检验，按照同样的逻辑和步骤，你会发现结果是一样的

从而计算得出Z检验单侧检验的最小样本量计算公式：
$$\sqrt{n}\ge \frac{(z_{\alpha }+z_{\beta })\sigma }{\delta }$$
这个时候我们就能使得 $\mu \in H_1\mathrm{且}\mu \ge {\mu }_0+\delta$的时候，它犯第Ⅱ类错误的概率不超过$\beta$ 。

下面来看双边假设检验。
双边检验问题$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$的OC函数为：
$$\beta (\mu )=P_{\mu }(接受H_0)=P_{\mu }\left\{-z_{\alpha /2}<\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<z_{\alpha /2}\right\}=\Phi (z_{\alpha /2}-\lambda )+\Phi (z_{\alpha /2}+\lambda )-1$$
其中$\lambda =\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$,$\Phi$是正态分布累积函数。OC函数对应的函数图像如下：

在这种情况下，我们需要解超越方程 $\beta =\Phi (z_{\alpha /2}-\sqrt{n}\delta /\sigma )+\Phi (z_{\alpha /2}+\sqrt{n}\delta /\sigma )-1$确定n，但是一般来说$n$总是很大的，因此我们可以认为 $\Phi (z_{\alpha /2}+\sqrt{n}\delta /\sigma )\approx 1$ ，也就是说我们只需要满足不等式 $\Phi (z_{\alpha /2}-\sqrt{n}\delta /\sigma )\le \beta$ ，解得$$\sqrt{n}\ge (z_{\alpha /2}+z_{\beta })\frac{\sigma }{\delta }$$，这就是Z检验在双侧检验的情况下最小样本量的公式。

t检验法

对于t检验的右侧检验的OC函数为
$\beta (\mu )=P_{\mu }\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}<t_{\alpha }(n-1)\right\}$
其中有：
$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}=(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}+\lambda )/(\frac{S}{\sigma }),\lambda =\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$
解出这个具体的值超出了我们所学的内容。但是如果给定了$\alpha ,\beta ,\delta$，我们查表是可以得到需要的样本量$n$的，这样使得 $\mu \in H_1$且$\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma }\ge \delta$犯第Ⅱ类错误的概率不超过 $\beta$。

要注意这里的不等式不再是 $\mu -{\mu }_0\ge \delta$而是 $\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma }\ge \delta$

双边检测时，对应的不等式为$\frac{|\mu -{\mu }_0|}{\sigma }\ge \delta$

但是在实际的应用中$\sigma$一般是不知道的，这是就没有办法通过$\delta =\frac{|\mu -{\mu }_0|}{\sigma }$来计算$\delta$并查表得到样本量了。可以按照如下步骤来近似算一下：首先适当的取一个值$n_1$ ,抽取容量为$n_1$的样本，并根据这一样本计算出$s^2$的值，以$s^2$作为${\sigma }^2$的估计值计算得到$\delta$的近似值，代入查表得到 $n_2$。如果$n_1\ge n_2$,则取$n_1$作为样本容量。如果$n_2$更大，那么就抽取 $n_2-n_1$个样本补充进原样本，按照一样的步骤计算$s^2,\delta$ ,然后查表得到$n_3$ ，若$n_2\ge n_3$,则取$n_2$作为样本容量,否则继续上述计算步骤。