数据结构大纲(2018)
一、数据结构的一般概念
1．掌握数据结构的基本概念和术语。
数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并输入给计算机处理的符号集合。
数据元素：是组成数据的，有一定意义的基本单位，在计算机中通常作为整体处理。也被称为记录。
数据项：一个数据元素可以由若干个数据项组成。数据项是数据不可分割的最小单位。
数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的子集。
数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系。
1. 集合结构 集合结构中的数据元素除了同属于一个集合外，它们之间没有其他关系。
2. 线性结构 线性结构中的数据元素之间是一对一的关系。
3. 树形结构 树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系。
4. 图形结构 图形结构的数据元素是多对多的关系。
物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。
1. 顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系式一致的。
2. 链式存储结构：是把数据元素放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。
2．了解抽象数据类型的概念。
数据类型：是指一组性质相同的值的集合以及在此集合上的一些操作的总称。
抽象数据类型：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。
3．掌握算法的特性，算法的描述和算法的分析。
算法：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性：输入输出，有穷性，确定性，可行性。
算法的时间复杂度：T(n) = O(f(n))
常数阶：O(1) 线性阶：O(n) 对数阶：O(logn) 平方阶：O(m*n)
算法的空间复杂度：
二、线性表
1．理解线性表的逻辑结构。
线性表：零个或多个数据元素的有限序列。
2．掌握线性表的顺序存贮结构和链式存贮结构；掌握线性表基本操作的实现。
线性表的顺序存储结构：指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。
线性表的链式存储结构：n个结点链结成一个链表，即为线性表的链式存储结构。
单链表：链表的每个结点只包含一个指针域。
头指针：链表中第一个结点的存储位置。
静态链表：用数组描述的链表。
循环链表：
双向链表：
3．了解线性表的应用。
三、其他线性结构
1．掌握栈的定义、栈的存贮结构及基本操作的实现。
栈：是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。
栈的顺序存储结构，栈的链式存储结构
2．理解用栈实现表达式的求值，递归过程及其实现。
3．掌握队列的定义、存贮结构及基本操作的实现
队列：是指允许在一端进行插入操作，另一端进行删除操作的线性表。
循环队列：队列的这种头尾相接的顺序存储结构。
链队列：
4．理解串的逻辑定义及其基本操作；理解串的存贮结构。
串：是由零个或多个字符组成的有限序列，又叫字符串。
KMP模式匹配算法
5．理解数组的定义、数组的顺序存贮结构及矩阵的存贮压缩。
6．理解广义表的定义及存贮结构。
四、树和二叉树
1．掌握树型结构的定义。
树：
度：结点拥有的子树数称为结点的度。
深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。
2．掌握二叉树的定义、性质及各种存贮结构。
二叉树：
完全二叉树：
性质：
3．掌握遍历二叉树、线索二叉树及其他基本操作。
前序遍历：根结点，左子树，右子树。
中序遍历：左子树，根结点，右子树。
后序遍历：左子树，右子树，根节点
层序遍历：从上到下，从左到右，逐层遍历
4．掌握树、森林与二叉树的相互转换；理解树的遍历；掌握哈夫曼树及其应用。
树转化为二叉树：
森林转化为二叉树：
二叉树转换为树：
二叉树转为森林：
树的遍历：
森林的遍历：
哈夫曼树：
压缩编码：哈夫曼编码，带权路径最小的二叉树叫哈夫曼树
五、图
1．掌握图的定义和术语。
图：
顶点，
2．掌握图的存贮结构；理解图的基本操作。
3．掌握图的遍历算法；了解利用图的遍历解决图的应用问题。
4．理解图的有关应用：求最小生成树、求最短路径、拓扑排序及关键路径等算法的基本思想。
六、查找
1．掌握静态查找表。
private bool Find(TKey key, bool add, bool set, ref TValue value) { int hashCode = GetKeyHashCode(key); for (int i = buckets[hashCode % buckets.Length] - 1; i >= 0; i = slots[i].next) { if (slots[i].hashCode == hashCode && AreKeysEqual(slots[i].key, key)) { if (set) { slots[i].value = value; return true; } else { value = slots[i].value; return true; } } } }
1.稠密索引
2.分块索引
3.倒排索引
2．掌握二叉排序树和平衡二叉树。
动态查找
3．理解B－树；了解B＋树。
4．掌握哈希表。
public virtual bool ContainsKey(Object key) { if (key == null) { throw new ArgumentNullException("key", Environment.GetResourceString("ArgumentNull_Key")); } Contract.EndContractBlock(); uint seed; uint incr; // Take a snapshot of buckets, in case another thread resizes table bucket[] lbuckets = buckets; uint hashcode = InitHash(key, lbuckets.Length, out seed, out incr); int ntry = 0; bucket b; int bucketNumber = (int) (seed % (uint)lbuckets.Length); do { b = lbuckets[bucketNumber]; if (b.key == null) { return false; } if (((b.hash_coll & 0x7FFFFFFF) == hashcode) && KeyEquals (b.key, key)) return true; bucketNumber = (int) (((long)bucketNumber + incr)% (uint)lbuckets.Length); } while (b.hash_coll < 0 && ++ntry < lbuckets.Length); return false; }
5．掌握各种查找方法的时间性能分析。
七、内部排序
1．掌握直接插入排序、希尔排序、冒泡排序、快速排序、简单选择排序、堆排序、归并排序；理解基数排序。
2．学会各种内部排序方法的比较（时间复杂度、空间复杂度、稳定性）。
public static class SortExtention { #region 冒泡排序 /* * 已知一组无序数据a[1]、a[2]、……a[n]，需将其按升序排列。首先比较a[1]与a[2]的值，若a[1]大于a[2]则交换两者的值，否则不变。 * 再比较a[2]与a[3]的值，若a[2]大于a[3]则交换两者的值，否则不变。再比较a[3]与a[4]，以此类推，最后比较a[n-1]与a[n]的值。 * 这样处理一轮后，a[n]的值一定是这组数据中最大的。再对a[1]~a[n-1]以相同方法处理一轮，则a[n-1]的值一定是a[1]~a[n-1]中最大的。 * 再对a[1]~a[n-2]以相同方法处理一轮，以此类推。共处理n-1轮后a[1]、a[2]、……a[n]就以升序排列了。 * 降序排列与升序排列相类似，若a[1]小于a[2]则交换两者的值，否则不变，后面以此类推。 * 总的来讲，每一轮排序后最大（或最小）的数将移动到数据序列的最后，理论上总共要进行n(n-1）/2次交换。 * 优点：稳定 * 时间复杂度：理想情况下（数组本来就是有序的），此时最好的时间复杂度为o(n),最坏的时间复杂度(数据反序的)，此时的时间复杂度为o(n*n) 。 * 冒泡排序的平均时间负责度为o(n*n). * 缺点：慢，每次只移动相邻的两个元素。 */ /// <summary> /// 冒泡排序，结果升序排列 /// <para>调用：arry.BubbleSort();</para> /// </summary> /// <param name="arry">要排序的整数数组</param> public static void BubbleSort(this int[] arry) { for (int i = 0; i < arry.Length; i++) { for (int j = 0; j < arry.Length - 1 - i; j++) { //比较相邻的两个元素，如果前面的比后面的大，则交换位置 if (arry[j] > arry[j + 1]) { int temp = arry[j + 1]; arry[j + 1] = arry[j]; arry[j] = temp; } } } } #endregion #region 快速排序 /*** * 设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为关键数据， * 然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。 * 值得注意的是，快速排序不是一种稳定的排序算法，也就是说，多个相同的值的相对位置也许会在算法结束时产生变动。 一趟快速排序的算法是： 1）设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=0，j=N-1； 2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给key，即key=A[0]； 3）从j开始向前搜索，即由后开始向前搜索(j–)，找到第一个小于key的值A[j]，将A[j]和A[i]互换； 4）从i开始向后搜索，即由前开始向后搜索(i++)，找到第一个大于key的A[i]，将A[i]和A[j]互换； 5）重复第3、4步，直到i=j； (3,4步中，没找到符合条件的值，即3中A[j]不小于key,4中A[i]不大于key的时候改变j、i的值， * 使得j=j-1，i=i+1，直至找到为止。找到符合条件的值，进行交换的时候i， j指针位置不变。另外，i==j这一过程一定正好是i+或j-完成的时候，此时令循环结束）。 */ /// <summary> /// 快速排序 /// <para>调用：arry.QuickSort(0, arry.Length-1 );</para> /// </summary> /// <param name="arry">要排序的数组</param> /// <param name="left">低位</param> /// <param name="right">高位</param> public static void QuickSort(this int[] arry, int left, int right) { //左边索引小于右边，则还未排序完成 if (left < right) { //取中间的元素作为比较基准，小于他的往左边移，大于他的往右边移 int middle = arry[(left + right) / 2]; int i = left - 1; int j = right + 1; while (true) { //移动下标，左边的往右移动，右边的向左移动 while (arry[++i] < middle && i < right) ; while (arry[--j] > middle && j > 0) ; if (i >= j) break; //交换位置 int number = arry[i]; arry[i] = arry[j]; arry[j] = number; } QuickSort(arry, left, i - 1); QuickSort(arry, j + 1, right); } } #endregion #region 直接插入排序 /** * 每次从无序表中取出第一个元素，把它插入到有序表的合适位置，使有序表仍然有序。 * 第一趟比较前两个数，然后把第二个数按大小插入到有序表中； 第二趟把第三个数据与前两个数从前向后扫描，把第三个数按大小插入到有序表中； * 依次进行下去，进行了(n-1)趟扫描以后就完成了整个排序过程。 * 直接插入排序属于稳定的排序，最坏时间复杂性为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。 * 直接插入排序是由两层嵌套循环组成的。外层循环标识并决定待比较的数值。内层循环为待比较数值确定其最终位置。 * 直接插入排序是将待比较的数值与它的前一个数值进行比较，所以外层循环是从第二个数值开始的。 * 当前一数值比待比较数值大的情况下继续循环比较，直到找到比待比较数值小的并将待比较数值置入其后一位置，结束该次循环。 * 值得注意的是，我们必需用一个存储空间来保存当前待比较的数值，因为当一趟比较完成时， * 我们要将待比较数值置入比它小的数值的后一位 插入排序类似玩牌时整理手中纸牌的过程。 * 插入排序的基本方法是：每步将一个待排序的记录按其关键字的大小插到前面已经排序的序列中的适当位置，直到全部记录插入完毕为止。 */ /// <summary> /// 直接插入排序 /// <para>调用：arry.InsertSort();</para> /// </summary> /// <param name="arry">要排序的数组</param> public static void InsertSort(this int[] arry) { //直接插入排序是将待比较的数值与它的前一个数值进行比较，所以外层循环是从第二个数值开始的 for (int i = 1; i < arry.Length; i++) { //如果当前元素小于其前面的元素 if (arry[i] < arry[i - 1]) { //用一个变量来保存当前待比较的数值，因为当一趟比较完成时，我们要将待比较数值置入比它小的数值的后一位 int temp = arry[i]; int j = 0; for (j = i - 1; j >= 0 && temp < arry[j]; j--) { arry[j + 1] = arry[j]; } arry[j + 1] = temp; } } } #endregion #region 希尔排序 /** * 希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。 * 希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 * 希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的： * 插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率。 * 但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位。 基本思想： * 先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。 * 先在各组内进行直接插入排序；然后，取第二个增量d2<d1重复上述的分组和排序，直至所取的增量 =1( < …<d2<d1)， * 即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。 * 该方法实质上是一种分组插入方法 * 比较相隔较远距离（称为增量）的数，使得数移动时能跨过多个元素， * 则进行一次比[2] 较就可能消除多个元素交换。D.L.shell于1959年在以他名字命名的排序算法中实现了这一思想。 * 算法先将要排序的一组数按某个增量d分成若干组，每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行排序， * 然后再用一个较小的增量对它进行，在每组中再进行排序。当增量减到1时，整个要排序的数被分成一组，排序完成。 * 一般的初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为1。 */ /// <summary> /// 希尔排序 /// <para>调用：arry.ShellSort();</para> /// </summary> /// <param name="arry">待排序的数组</param> public static void ShellSort(this int[] arry) { int length = arry.Length; for (int h = length / 2; h > 0; h = h / 2) { //here is insert sort for (int i = h; i < length; i++) { int temp = arry[i]; if (temp < arry[i - h]) { for (int j = 0; j < i; j += h) { if (temp < arry[j]) { temp = arry[j]; arry[j] = arry[i]; arry[i] = temp; } } } } } } #endregion #region 简单选择排序 /** * 设所排序序列的记录个数为n。i取1,2,…,n-1,从所有n-i+1个记录（Ri,Ri+1,…,Rn）中找出排序码最小的记录， * 与第i个记录交换。执行n-1趟 后就完成了记录序列的排序。 * 在简单选择排序过程中，所需移动记录的次数比较少。最好情况下， * 即待排序记录初始状态就已经是正序排列了，则不需要移动记录。 * 最坏情况下，即待排序记录初始状态是按逆序排列的，则需要移动记录的次数最多为3（n-1）。 * 简单选择排序过程中需要进行的比较次数与初始状态下待排序的记录序列的排列情况无关。 * 当i=1时，需进行n-1次比较；当i=2时，需进行n-2次比较；依次类推， * 共需要进行的比较次数是(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)/2，即进行比较操作的时间复杂度为O(n^2)， * 进行移动操作的时间复杂度为O(n)。 */ /// <summary> /// 简单选择排序 /// <para>调用：arry.SimpleSelectSort();</para> /// </summary> /// <param name="arry">待排序的数组</param> public static void SimpleSelectSort(this int[] arry) { int tmp = 0; int t = 0;//最小数标记 for (int i = 0; i < arry.Length; i++) { t = i; for (int j = i + 1; j < arry.Length; j++) { if (arry[t] > arry[j]) { t = j; } } tmp = arry[i]; arry[i] = arry[t]; arry[t] = tmp; } } #endregion #region 堆排序 /** * 堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法， * 它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。 * 堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值， * 即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆， * 因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。 */ /// <summary> /// 堆排序 /// <para>调用：arry.HeapSort(arry.Length);</para> /// </summary> /// <param name="arry">待排序的数组</param> /// <param name="top"></param> public static void HeapSort(this int[] arry, int top) { //List<int> topNode = new List<int>(); for (int i = arry.Length / 2 - 1; i >= 0; i--) { HeapAdjust(arry, i, arry.Length); } for (int i = arry.Length - 1; i >= arry.Length - top; i--) { int temp = arry[0]; arry[0] = arry[i]; arry[i] = temp; HeapAdjust(arry, 0, i); } } /// <summary> /// 构建堆 /// </summary> /// <param name="arry"></param> /// <param name="parent"></param> /// <param name="length"></param> private static void HeapAdjust(int[] arry, int parent, int length) { int temp = arry[parent]; int child = 2 * parent + 1; while (child < length) { if (child + 1 < length && arry[child] < arry[child + 1]) child++; if (temp >= arry[child]) break; arry[parent] = arry[child]; parent = child; child = 2 * parent + 1; } arry[parent] = temp; } #endregion #region 归并排序 /** * 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。 * 将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序 * 。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。 * 归并过程为：比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中， * 并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1， * 如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。 * 归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序， * 最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。 * 归并操作(merge)，也叫归并算法，指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。 * 如 设有数列{6，202，100，301，38，8，1} * 初始状态：6,202,100,301,38,8，1 * 第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比较次数：3； * 第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比较次数：4； * 第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301},比较次数：4； * 总的比较次数为：3+4+4=11,； * 逆序数为14； * 归并操作的工作原理如下： * 第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列 * 第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置 * 第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置 * 重复步骤3直到某一指针超出序列尾 * 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾 */ /// <summary> /// 归并排序 /// <para>调用：arry.MergeSort(0, arry.Length);</para> /// </summary> /// <param name="arry">待排序数组</param> /// <param name="first"></param> /// <param name="last"></param> public static void MergeSort(this int[] arry, int first, int last) { if (first + 1 < last) { int mid = (first + last) / 2; MergeSort(arry, first, mid); MergeSort(arry, mid, last); Merger(arry, first, mid, last); } } /// <summary> /// 归并 /// </summary> /// <param name="arry"></param> /// <param name="first"></param> /// <param name="mid"></param> /// <param name="last"></param> private static void Merger(int[] arry, int first, int mid, int last) { Queue<int> tempV = new Queue<int>(); //设置indexA，并扫描subArray1 [first,mid] //设置indexB,并扫描subArray2 [mid,last] int indexA = first; int indexB = mid; //在没有比较完两个子标的情况下，比较 v[indexA]和v[indexB] //将其中小的放到临时变量tempV中 while (indexA < mid && indexB < last) { if (arry[indexA] < arry[indexB]) { tempV.Enqueue(arry[indexA]); indexA++; } else { tempV.Enqueue(arry[indexB]); indexB++; } } //复制没有比较完子表中的元素 while (indexA < mid) { tempV.Enqueue(arry[indexA]); indexA++; } while (indexB < last) { tempV.Enqueue(arry[indexB]); indexB++; } int index = 0; while (tempV.Count > 0) { arry[first + index] = tempV.Dequeue(); index++; } } #endregion #region 基数排序 /** * 基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），又称“桶子法”（bucket sort）或bin sort， * 顾名思义，它是透过键值的部份资讯，将要排序的元素分配至某些“桶”中，藉以达到排序的作用， * 基数排序法是属于稳定性的排序，其时间复杂度为O (nlog(r)m)，其中r为所采取的基数， * 而m为堆数，在某些时候，基数排序法的效率高于其它的稳定性排序法。 */ /// <summary> /// 基数排序 /// <para>约定：待排数字中没有0,如果某桶内数字为0则表示该桶未被使用,输出时跳过即可</para> /// <para>调用：arry.RadixSort();</para> /// </summary> /// <param name="arry">待排数组</param> /// <param name="array_x">桶数组第一维长度</param> /// <param name="array_y">桶数组第二维长度</param> public static void RadixSort(this int[] arry, int array_x = 10, int array_y = 100) { /* 最大数字不超过999999999...(array_x个9) */ for (int i = 0; i < array_x; i++) { int[,] bucket = new int[array_x, array_y]; foreach (var item in arry) { int temp = (item / (int)Math.Pow(10, i)) % 10; for (int l = 0; l < array_y; l++) { if (bucket[temp, l] == 0) { bucket[temp, l] = item; break; } } } for (int o = 0, x = 0; x < array_x; x++) { for (int y = 0; y < array_y; y++) { if (bucket[x, y] == 0) continue; arry[o++] = bucket[x, y]; } } } } #endregion }
参考书目：
1. 《数据结构》（C语言版），严蔚敏 吴伟民编著，清华大学出版社，2006.3
2. 《数据结构实用教程》（C++版），万健主编，电子工业出版社，2011.1
