[tyvj1045]最大的算式

描述

题目很简单，给出N个数字，不改变它们的相对位置，在中间加入K个乘号和N-K-1个加号，（括号随便加）使最终结果尽量大。因为乘号和加号一共就是N-1个了，所以恰好每两个相邻数字之间都有一个符号。例如：
N=5, K=2，5个数字分别为1、2、3、4、5，可以加成：
1*2*(3+4+5)=24
1*(2+3)*(4+5)=45
(1*2+3)*(4+5)=45
……

输入格式

输入文件共有二行，第一行为两个有空格隔开的整数，表示N和K，其中(2<=N<=15, 0<=K<=N-1)。第二行为 N个用空格隔开的数字（每个数字在0到9之间）。

输出格式

输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的最大的结果
最后的结果<=maxlongint

测试样例1

输入

5 2 
1 2 3 4 5

输出

120

备注

对于30%的数据，N<= 10；
对于全部的数据，N <= 100。

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分析

由于括号可以随意添加，那么最直接的想法是把一段式子分成左右两段，由这两段递推得解。由于不等式的性质，左右当左右两段取到最大值时合起来一定最优（a>c>0, b>d>0⇒a+b>c+d, a*b>c*d）。

设F(l, r, k)为[l, r]上数字添加k个乘号算得的最大值，则方程：

F(l, r, k) = A[l], l=r;

F(l, r, k) = max{ max{F(l, d, k’) + F(d+1, k-k’)} (l≤d<r, 0≤k’≤k, k’≤d-l, k-k’≤r-d-1), max{F(l, d, k’) + F(d+1, k-k’-1)} (l≤d<r, 0≤k’≤k, k’≤d-l, k-k’≤r-d) }

当然，这样的话枚举乘号个数的时候会比较复杂，可以简化。

设F(i, j)为前i个数添加j个乘号的最大值，则方程：

F(i, j) = max{F(i-1, j), F(k, j-1) * (S[i] - S[k] + A[k])} (0<k<i)

代码

#include <iostream>
using namespace std;
unsigned long long F[102][102];
unsigned long long S[102];
unsigned long long A[102];
int N, K;
int main()
{
    cin >> N >> K;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> A[i];
        S[i] = S[i - 1] + A[i];
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        F[i][0] = F[i - 1][0] + A[i];
        for (int j = 1; j < i && j <= K; ++j)
            for (int k = 1; k != i; ++k)
                if (F[k][j - 1] * (S[i] - S[k]) > F[i][j])
                    F[i][j] = F[k][j - 1] * (S[i] - S[k]);
    }
    cout << F[N][K];
    return 0;
}