摘要 初识矩阵快速幂已是很久之前的事情了，我的忘性有那么好，现在自然是忘得一干二净啦，简要写一下矩阵快速幂相关，以备后用.
事情要从很久很久以前说起，我记得那是第一节算法课，老师说了这样一个题目：某人下楼梯可以一次走两阶，也可以一次走一阶，现在他在第 k 阶楼梯，问题是他要走到第0阶有多少种不同的走法？显然，这是fibonacci数列，即：
$$ f(n) = \begin{cases} 1& \text{n=1}\\ 1& \text{n=2}\\ f(n-1) + f(n-2)& \text(n \geq 3) \end{cases} $$
这个问题并不复杂，我们甚至能求出它的通项公式：
$$ \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}- (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}] $$
不过，我们知道斐波那契数列的数字总是整数，这个通项公式并没有显式的表明这是一个整数，而且，即使利用这个通项公式求解 $ f(n) $ 依然要计算至少 $ n $次，反倒不如直接递推！
事实上我们能在 log 级的时间复杂度内解决这个问题。
首先，我们构造矩阵：
$$ \begin{equation} \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \left| \begin{array}{c} f(2) \\ f(1) \end{array} \right| \end{equation} $$
矩阵一和矩阵二相乘会得到一个新的矩阵：
$$ \begin{equation} \left| \begin{array}{c} f(2) + f(1) \\ f(2) \end{array} \right| \end{equation} $$
显然，矩阵三等价于：
$$ \begin{equation} \left| \begin{array}{c} f(3) \\ f(2) \end{array} \right| \end{equation} $$
如果把得到的矩阵三再和矩阵一相乘呢？我们会得到含有f(4)和f(3)的矩阵，依此类推，我们总能得到这样的矩阵：
$$ \begin{equation} \left| \begin{array}{c} f(n) \\ f(n-1) \end{array} \right| \end{equation} $$
记这个矩阵为$ M_{n} $ ，矩阵一为$ M_{0} $，矩阵二为$ M_{2} $则有：
$$ M_{n} = M_{0}*M_{n-1} = M_{0}*M_{0}*M_{n-2} = ... = M_{0}^{n-2}*M_{2} $$
作为一个"伪ACMer"我还是知道快速幂取模这个东西的：
快速幂取模能在log级的时间复杂度内解决 $ A^{n} mod p $的问题， A , p , n 均为正整数
新得到的式子和快速幂取模能解决的问题竟如此相似，事实上是完全一样的，如果你了解快速幂取模的过程的话，唔---还是简要的说一下吧！
代码是这样的：
#define LL long long LL Quick_Mod(LL a,LL k,LL p) { LL ans = 1 ; a %= p ; while (k) { if (k&1) ans = ans*a%p; a = a*a%p ; k = k>>1 ; } return ans ; }
思路是这样的：如果 n 是奇数，那么$ answer = A^{n-1}*A mod p $，如果 n 是偶数，那么$ answer = (A^{2})^{(n/2)} mod p $。这样，就会把时间复杂度降到log级别
咦><整数和矩阵的区别很大么？把快速幂取模代码中的乘号重载成矩阵的乘法不就ok了吗？没错，就是这样！！！现在，已经成功的解决了这个问题！！
顺带说一下昨天BestCoder Round 80中的一个题目：
对，就是这个，读完题目我就知道要构造矩阵了，瞎写了一个多小时，都没能正确的构造矩阵，也因此才写了这篇随笔。
分析 我们给它的递推式换一种写法：
$$ f_{n} = \begin{cases} f_{2}^{0}-->0& \text{n=1}\\ f_{2}^{1}-->1& \text{n=2}\\ f_{2}*f_{n-1}^{c}*f_{n-2}-->(1+c*g_{n-1}+g_{n-2})& \text(n \geq 3) \end{cases} $$
这样写的意思就是都表示为$ f_{2} $的某次方，最后得到$ g_{n} = 1 + c*g_{n-1} + g_{n-2} $且有了$ g_{1} = 0, g_{2} = 1 $
于是构造矩阵：
$$ \left| \begin{array}{ccc} c & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| $$
$$ \left| \begin{array}{c} g_{2} \\ g_{1} \\ 1 \end{array} \right| $$
可以发现，相乘一次就能得到$ g_{3} $。同样，到这里这个问题就解决了，下面是代码。
我的代码在HDoj上提交可以 AC ，但是直觉告诉我应该有点什么问题==希望路过的同学能帮忙指出！
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <cstring> 5 #include <algorithm> 6 using namespace std ; 7 #define LL long long 8 #define rep(i,n) for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) 9 const int n = 3 ; 10 struct Matrix 11 { 12 LL mat[n<<1][n<<1] ; 13 }e; 14 15 void InitMatrix() 16 { 17 rep(i,n) rep(j,n) e.mat[i][j] = (i == j) ; 18 } 19 20 Matrix mul(Matrix a,Matrix b,LL Mod) 21 { 22 Matrix c ; 23 rep(i,n) { 24 rep(j,n) { 25 c.mat[i][j] = 0 ; 26 rep(k,n) { 27 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%Mod ; 28 while (c.mat[i][j] >= Mod) c.mat[i][j] -= Mod ; 29 } 30 } 31 } 32 return c ; 33 } 34 35 Matrix Quick_Mod(Matrix a,LL k,LL Mod) 36 { 37 Matrix c = e ; 38 while (k) { 39 if (k&1) c = mul(c,a,Mod) ; 40 a = mul(a,a,Mod) ; 41 k = k/2 ; 42 } 43 return c ; 44 } 45 46 LL Quick_Mod(LL a,LL k,LL Mod) 47 { 48 LL ans = 1 ; 49 a %= Mod ; 50 while (k) { 51 if (k&1) ans = ans*a%Mod ; 52 a = a*a%Mod ; 53 k = k>>1 ; 54 } 55 return ans ; 56 } 57 58 59 int main() 60 { 61 // freopen("in.txt","r",stdin) ; 62 LL N , A , B , C , Mod ; 63 int T ; 64 Matrix c ; 65 InitMatrix() ; 66 scanf("%d",&T) ; 67 while (T --) { 68 scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&N,&A,&B,&C,&Mod) ; 69 if (A%Mod == 0) { 70 if (N == 1) puts("1") ; 71 else puts("0") ; 72 continue ; 73 } 74 if (N < 3) { 75 if (N == 1) printf("1\n") ; 76 else printf("%I64d\n",Quick_Mod(A,B,Mod)) ; 77 continue ; 78 } 79 memset(c.mat,0,sizeof(c.mat)) ; 80 c.mat[1][1] = C ; 81 c.mat[1][2] = c.mat[1][3] = c.mat[2][1] = c.mat[3][3] = 1 ; 82 c = Quick_Mod(c,N-2,Mod-1) ; 83 LL k = c.mat[1][1] + c.mat[1][3] ; 84 k %= (Mod-1) ; 85 k = k*B%(Mod - 1) ; 86 printf("%I64d\n",Quick_Mod(A,k,Mod)) ; 87 } 88 return 0 ; 89 }
待学习链接：
matrix67的 十个利用矩阵乘法解决的经典题目
~end~
