数据结构之AVL树

1. 概述
AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。
2. 基本术语
有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：
（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2
（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2
（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：
（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置
基本的数据结构

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;
struct Node{
     Node_t left;
     Node_t right;
     int height;
     Type data;
};
int Height(Node_t node) {
     return node->height;
}

3.1 LL

LL情况需要右旋解决，如下图所示：

Node_t RightRotate(Node_t a) {
     b = a->left;
     a->left = b->right;
     b->right = a;
     a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
     b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
     return b;
}

3.2 RR

RR情况需要左旋解决，如下图所示：

3.3 LR

LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
     a->left = LeftRotate(a->left);
     return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
     a->right = RightRotate(a->right);
     return LeftRotate(a);
}

4. AVL数的插入和删除操作

(1) 插入操作：实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树，具体代码如下：

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
    if(t == NULL) {
        t = NewNode(x);
     } else if(x < t->data) {
         t->left = Insert(t->left);
         if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
                if(x < t->left->data) {
                      t = RightRotate(t);
               } else {
                      t = LeftRightRotate(t);
               }
        }
        } else {
               t->right = Insert(t->right);
               if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
                     if(x > t->right->data) {
                          t = LeftRotate(t);
                    } else {
                         t = RightLeftRotate(t);
                    }
               }
      }
      t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
      return t;
}

(2) 删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并重新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据类似，代码如下：

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
      if(t == NULL) return NULL;
      if(t->data == x) {
            if(t->right == NULL) {
                   Node_t temp = t;
                   t = t->left;
                   free(temp);
            } else {
                  Node_t head = t->right;
                  while(head->left) {
                         head = head->left;
                  }
                  t->data = head->data; //just copy data
                  t->right = Delete(t->data, t->right);
                  t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
         }
         return t;
     } else if(t->data < x) {
            Delete(x, t->right);
            if(t->right) Rotate(x, t->right);
            } else {
                 Delete(x, t->left);
                 if(t->left) Rotate(x, t->left);
            }
            if(t) Rotate(x, t);
}