求解丢番图方程

丢番图方程
形如ax+by=c，其中a,b,c为整数的方程，现在要求x,y的整数解。
如2x+3y=5
显然这个方程有整数解(x=1,y=1)同时有无穷多个解。
如2x+4y=5
显然这个方程没有整数解。
下面的定理告诉我们这种方程有解的条件及所有解的形式。
定理1：设a，b是整数且d=（a，b）。如果c不能被d整除那么方程ax+by=c没有整数解。如果c能被d整除那么存在无穷多个整数解，另外，如果x=x0，y=y0是方程的一个特解，那么所有的解可以表示为：
X=x0+(b/d)*n
Y=y0-(a/d)*n
其中n是整数

定理2：如果a1,a2,…,an是正整数，那么方程a1x1+a2x2+…+anxn=c有整数解当且仅当d=（a1,a2,……,an）能整除c，另外当存在一个解的时候，那么方程有无穷多个解解n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c（a1,a2,…,an∈N）时，可先顺次求出（a1,a2）=d2,(d2,a3)=d3,……,(d(n-1),an)=dn.若c能被dn整除，则方程有解，作方程：
A1x1+a2x2=d2t2
D2t2+a3x3=d3t3
……
D(n-1)t(n-1)+anxn=c
求出最后一个方程的所有解，然后把tn-1的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的所有解，依次类推，即可得所有解。

不定方程组的解
M个n元一次不定方程组成的方程组，其中m＜n，可以消去m-1个未知数，从而消去m-1个不定方程，将方程组转化为1个n-m+1元的一次不定方程。
欧几里德算法
即辗转相除法，计算整数A, B最大公约数。   
基本算法：设 a = kb + r，其中a，b，k，r都是整数，则 gcd(a,b) = gcd(b,r)，即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 。
证明： a = kb + r;  则r = a%b ;    设m为 a , b 的一个公约数，则 m|a , m|b，而 r = a - kb; 所以 m|r (注:m整除r，r能被m整除)，因此m也是 (b , a%b) 的公约数；
设m为 b , r 的一个公约数，则 m|b , m|r，而 a = r + kb; 所以 m|a ，因此m也是 (a , b) 的公约数；因此 (b , a%b) 与 (a , b) 公约数相同，最大公约数也一定相同，得证。
欧几里德算法
代码现实

int gcd(int a,int b) 
{ if(b==0) 
       return a; 
   return gcd(b, a%b); 
}

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 x，y ，使得 ax + by = gcd（a，b）  。
证明：    前文得证 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) ;    所以 ax + by = bx1 + %by1 ; 
  化简得 ax + by = ay1 + b(x1 - (a/b)*y1) ;   
得到：x = y1 ; y = (x1 - (a/b)*y1) ;   
递归的最终停止结果为 a = gcd( a , b) , b = 0 , 此时 x = 1 , y = 0 ;
扩展欧几里德算法

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp-a/b*y;
    return r;
}

扩展欧几里德算法求解丢番图方程

用扩展欧几里德算法求解丢番图方程ax+by=c ,系数 a, b, c 为任意整数。丢番图方程有解的充要条件为c%gcd(a,b)==0 。 
由前一章节可知 ax + by = gcd(a,b) 存在整数解， 因此 c % gcd(a,b)==0 为丢番图方程有解的充分条件
代码实现的话与扩展欧几里德算法基本相同， 不同的地方就是最后的结果 x和y 要乘上倍数 c/gcd ( a, b) 。
密码
问题描述
有一个密码箱，0到n-1中的某此整数是它的密码，且满足；如果a和b都是它的密码，那么(a+b)%n也是它的密码(a，b可以相等，%表示整除取余数，下同)，某人试了k次字码，前k-1次失败，最后一次成功了。
问：该密码箱最多有多少不同的密码。
输入格式
第一行两下整数分别表示n,k。
第二行为k个用空格分隔开的非负整数，表示每次试的密码。数据保证存在合法解。
输出格式
输出一行一个数，表示结果。
密码
样例输入
42 5
28 31 10 24
样例输出
14
数据规模
10% N≤10⁴,k≤100
10% N≤10⁹,k≤100
10% N≤10⁹,k=1
60% k≤1000
100% 1≤k≤2500000,k≤n≤10¹⁴