前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。
最简单的一道题就是给定 n 个数和 m 次询问，每次询问一段区间的和。求一个 O(n + m) 的做法。
用 O(n) 前缀和预处理，O(m) 询问。
一、一维前缀和
主要代码

for(int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];　　//O(n)
while(m--)　　　　　　　　//O(m) 
{
     int L, R; scanf("%d%d", &L, &R);
     printf("%d\n", sum[R] - sum[L - 1]);
}

二、二维前缀和
给定一个n*n的矩阵，找一个最大的子矩阵，使得这个子矩阵里面的元素和最大。

这道题最朴素的算法是 O(n⁶),用二维前缀和可以降到 O(n⁴)。
再想想前缀和矩阵怎么生成？看个图就明白了：
那么最大的矩形前缀和就等于蓝的矩阵加上绿的矩阵，再减去重叠面积，最后加上小方块，即
sum[i][j] = sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]
主要代码

for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
    sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
for(int i = 1; i <= n; ++i) //枚举矩阵左右端点
for(int j= 1; j <= n; ++j)
for(int k = i; K <= n; ++k)
for(int h = j; h <= n; ++h)
{
      tot = sum[k][h] - sum[i - 1][h] - sum[k][j - 1] + sum[i - 1][j - 1];　　//同理矩阵生成
     ans = max(ans, tot);
}

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