二叉树----二叉树基本概念

二叉树（binary tree,简写成BT）是一种特殊的树型结构，它的度数为2的树。即二叉树的每个结点最多有两个子结点。每个结点的子结点分别称为左孩子、右孩子，它的两棵子树分别称为左子树、右子树。二叉树有5中基本形态：

前面引入的树的术语也基本适用于二叉树，但二叉树与树也有很多不同，如：首先二叉树的每个结点至多只能有两个结点，二叉树可以为空，二叉树一定是有序的，通过它的左、右子树关系体现出来。
【性质1】在二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点（i>=1）。
证明：很简单，用归纳法：当i=1时，2^i-1=1显然成立；现在假设第i-1层时命题成立，即第i-1层上最多有2^{i –2} 个结点。由于二叉树的每个结点的度最多为2，故在第i层上的最大结点数为第i-1层的2倍，
即
2*2^i-2=2^i–1。
【性质2】深度为k的二叉树至多有2^k –1个结点（k>=1）。
证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k的二叉树的结点数至多为：
2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
故命题正确。
【特别】一棵深度为k且有2^k–1个结点的二叉树称为满二叉树。如下图A为深度为4的满二叉树，这种树的特点是每层上的结点数都是最大结点数。
可以对满二叉树的结点进行连续编号，约定编号从根结点起，自上而下，从左到右，由此引出完全二叉树的定义，深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。
下图B就是一个深度为4，结点数为12的完全二叉树。它有如下特征：叶结点只可能在层次最大的两层上出现；对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为m，则在其左分支下的子孙的最大层次必为m或m+1。下图C、D不是完全二叉树，请大家思考为什么？

【性质3】对任意一棵二叉树，如果其叶结点数为n0，度为2的结点数为n2，则一定满足：n0=n2+1。
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)应等于0度结点数n0、1度结点n1和2度结点数n2之和：
n=no+n1+n2 ……(式子1)
另一方面，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：nl+2n2
树中只有根结点不是任何结点的孩子，故二叉树中的结点总数又可表示为：n=n1+2n2+1 ……(式子2)
由式子1和式子2得到：no=n2+1
【性质4】具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1
证明：假设深度为k，则根据完全二叉树的定义，前面k-1层一定是满的，所以n>2^{k –1} -1。但n又要满足n<=2^{k -1}。所以，2^k–1–1<n<=2^{k -1}。变换一下为2^k–1<=n<2^k。
以2为底取对数得到：k-1<=log2n<k。而k是整数，所以k= floor(log2n)+1。
【性质5】对于一棵n个结点的完全二叉树，对任一个结点（编号为i），有：
①如果i=1,则结点i为根，无父结点；如果i>1,则其父结点编号为i/2。
如果2*i>n，则结点i无左孩子（当然也无右孩子，为什么？即结点i为叶结点）；否则左孩子编号为2*i。
②如果2*i+1>n，则结点i无右孩子；否则右孩子编号为2*i+1。
在二叉树的应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的结点，或者对全部结点逐一进行某种处理。这就是二叉树的遍历问题。所谓二叉树的遍历是指按一定的规律和次序访问树中的各个结点，而且每个结点仅被访问一次。“访问”的含义很广，可以是对结点作各种处理，如输出结点的信息等。遍历一般按照从左到右的顺序，共有3种遍历方法，先（根）序遍历，中（根）序遍历，后（根）序遍历。
㈠先序遍历的操作定义如下：
若二叉树为空，则空操作，否则
①访问根结点
②先序遍历左子树
③先序遍历右子树

void preorder(tree bt) //先序遍历根结点为bt的二叉树的递归算法
{
     if(bt)
    {
           cout << bt->data;
           preorder(bt->lchild);
           preorder(bt->rchild);
    }
}

先序遍历此图结果为：124753689

(二)中序遍历的操作定义如下：

若二叉树为空，则空操作，否则
①中序遍历左子树
②访问根结点
③中序遍历右子树

void inorder(tree bt) //中序遍历根结点为bt的二叉树的递归算法
{
      if(bt)
     {
　　　	inorder(bt->lchild);
　　　	cout << bt->data;
　　　	inorder(bt->rchild);
     }
}

中序遍历此图结果为：742513869

 ㈢后序遍历的操作定义如下：

若二叉树为空，则空操作，否则
①后序遍历左子树
②后序遍历右子树
③访问根结点

void postorder(tree bt) //后序遍历根结点为bt的二叉树的递归算法
{
     if(bt)
    {
         postorder(bt->lchild);
         postorder(bt->rchild);
         cout << bt->data;
    }
}

后序遍历此图结果为：745289631

 满二叉树
定义：高度为h,并且由2^h-1个结点的二叉树，被称为满二叉树。

完全二叉树

定义：一棵二叉树，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树

特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。