图象恢复学习笔记（二）

主要关于ISTA和ADMM。

一些常用的矩阵和向量微分

矩阵A-标量t

　　　　　　

标量函数f-矢量x

　　　　　　

矢量函数g-矢量x

　　　　　　

常用导数（b,x为向量，A为矩阵）

　　　　　　

　

ISTA(Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm)

ISTA算法作用是求解以下形式目标函数

 　　　　　　

其中

前一项为最小二乘数据拟合项，这一部分是可微的，可以用简单的梯度下降求解；后一项为L1范数惩罚项，作用是得到稀疏解。

ISTA的方法即将梯度下降的迭代解转换为

　　　　　　

的形式，然后用软阈值方法求解。

梯度下降迭代解

考虑到如果没有惩罚项，梯度下降迭代解可以看作是使f的局部二次模型达到最小值时x的取值：

　　　　　　

其中t_k为步长。

加上惩罚项之后

　　　　　　

令，转换为

　　　　　　

考虑到

上式转换为

 　　　　　　

软阈值

考虑函数

如何求f(x)为最小值时x的取值？

f(x)中后一项|x|在0点不可微，但是凸函数，可以使用次梯度（subgradient）处理，|x|的次导数为sgn(x)

　　　　　　

对f(x)求次梯度，并令次梯度为0：

　　　　　　　　　　

考虑tk=1，λ=1的简单情况

　　　　　　　　　　

将y看作x*的函数：

　　　　　　　　　　

旋转坐标轴：

　　　　　　　　　

软阈值函数即：

　　　　　

ISTA算法

综合以上两个部分，目标函数

　　　　　　　　

可以通过以下式子更新迭代求解：

　　　　　　　　

其中T是软阈值  

　　　　　　

ADMM最优化方法

主要思想是采用分裂的方法求解以下方程：

 　　　　　　

Chan S H , Wang X , Elgendy O A . Plug-and-Play ADMM for Image Restoration: Fixed Point Convergence and Applications[J]. IEEE Transactions on Computational Imaging, 2016, 3(1):84-98.

这篇文章介绍了ADMM（交替方向乘子）方法，这是一种在图像恢复中广泛应用的约束优化方法，主要优点在于具有模块化的结果，可以作为子算法模块插入现成的图像降噪算法中，但收敛条件和速度还要看具体算法的实现情况。

MAP

最大后验概率（MAP）：

　　　　　　

（1）与下式等价：

　　　　　　

其中

这是个无约束优化问题（unconstrained optimization）,可以用ADMM求解。

ADMM

ADMM的主要思想是通过分裂变量将无约束优化问题转化为约束问题，然后交替迭代求解。

将变量x分裂为x和v，x=v，上式转化为：

　　　　

其增广拉格朗日函数为：

　　　　

其中，增设一个变量u，称为拉格朗日算子（又称对偶变量），添加了惩罚函数（ρ 项）。

根据ADMM，根据以下步骤重复迭代，交替对x,v,u进行更新：

　　　　　　

收敛到增广拉格朗日函数的鞍点。

在交替迭代的步骤中，（5）可以看作一个反演过程，涉及前向成像模型f(x)，（6）可以看做降噪噪过程，涉及到先验g(v)。

令σ = √ λ/ρ,（6）变为：

　　　　　　

将v(k)项视为含噪声图像，（8）最小化无噪声图像v和v(k)之间的残差，如果先验g(v)为全变差范数（total variation norm），（8）为标准全变差去噪问题。

ADMM举例-lasso

http://web.stanford.edu/~boyd/papers/admm/

目标函数

　　　　　　　　

写成 ADMM 形式

　　　　　　　　

其中　　　　

更新步骤：

　　　　　　　

Matlab代码：

测试：
randn('seed', 0);
rand('seed',0);

m = 1500;       % number of examples
n = 5000;       % number of features
p = 100/n;      % sparsity density

x0 = sprandn(n,1,p);
A = randn(m,n);
A = A*spdiags(1./sqrt(sum(A.^2))',0,n,n); % normalize columns
b = A*x0 + sqrt(0.001)*randn(m,1);

lambda_max = norm( A'*b, 'inf' );
lambda = 0.1*lambda_max;

程序代码：
function [z, history] = lasso_via_ADMM(A, b, lambda, rho, alpha)
 
% Solve lasso problem via ADMM
% objective function: 
%       minimize 1/2*|| Ax - b ||_2^2 + \lambda || x ||_1
% The solution is returned in the vector x.
% rho is the augmented Lagrangian parameter.
% alpha is the over-relaxation parameter (typical values for alpha are
% between 1.0 and 1.8).
 
%%%   Global constants and defaults     %%%%
MAX_ITER = 1000;
ABSTOL   = 1e-4;
RELTOL   = 1e-2;
 
%%%%   Data preprocessing    %%%%
[m, n] = size(A);
Atb = A'*b;
 
%%%%    ADMM solver    %%%%
x = zeros(n,1);
z = zeros(n,1);
u = zeros(n,1);
 
for k = 1:MAX_ITER
    
    % x-update
    [m,n] = size(A);
    temp = Atb + rho*(z - u);  
    if(m<n)
        L = chol( speye(m) + 1/rho*(A*A'), 'lower' )
        L = sparse(L);
        U = sparse(L');  
        x = temp/rho - (A'*(U \ ( L \ (A*temp) )))/rho^2;
    else
        L = chol( A'*A + rho*speye(n), 'lower' );
        L = sparse(L);
        U = sparse(L');
        x = U \ (L \ q);
    end
    
    % z-update with relaxation
    zold = z;
    x_hat = alpha*x + (1 - alpha)*zold;
    z = soft_threshold(x_hat + u, lambda/rho);
 
    % u-update
    u = u + (x_hat - z);
 
    % diagnostics, reporting, termination checks
    r_norm = norm(x - z);
    s_norm  = norm(-rho*(z - zold));
    eps_pri = sqrt(n)*ABSTOL + RELTOL*max(norm(x), norm(-z));
    eps_dual = sqrt(n)*ABSTOL + RELTOL*norm(rho*u);
 
    if (r_norm < eps_pri && s_norm < eps_dual)
         break;
    end
end
end
 
%soft_threshold
function z = soft_threshold(x,kappa)
    z = sign(x).*max(abs(x)-kappa,0);  
end