面试智力题——楼层拿钻石/聘用秘书问题数学推导

面试智力题——楼层拿钻石/聘用秘书问题数学推导

内容

数学原理详解

问题模型：
有 $n$ 个有序选项（如楼层、应聘者），依次观察并决策。每次只能选择当前选项或放弃（不可回溯），目标最大化选到最大值的概率。

最优策略推导：

1. 策略定义：
   观察前 $k$ 个选项，记录最大值 $M$。之后，一旦遇到比 $M$ 大的选项，立即选择。若后续无更大值，则被迫选最后一个。

2. 成功条件：
   设最大选项位于位置 $i$（ $1 \leq i \leq n$ ）。策略成功需满足：

   • $i > k$（最大值在决策阶段）。
   • 前 $i-1$ 个选项中，最大值在前 $k$ 个中（否则在位置 $i$ 前已被选中）。

3. 概率计算：

   • 最大值出现在位置 $i$ 的概率：$\frac{1}{n}$（均匀分布）。
   • 最大值在前 $k$ 中的条件概率：若 $i > k$，则前 $i-1$ 个中的最大值必须在前 $k$ 个中，概率为 $\frac{k}{i-1}$。

   总成功概率：

   $$P(k) = \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{i-1} = \frac{k}{n} \sum_{i=k}^{n-1} \frac{1}{i}$$

4. 近似与优化：
   当 $n$ 很大时，求和近似为积分：

   $$\sum_{i=k}^{n-1} \frac{1}{i} \approx \int_{k}^{n} \frac{1}{x} dx = \ln\left(\frac{n}{k}\right)$$

   因此：

   $$P(k) \approx \frac{k}{n} \ln\left(\frac{n}{k}\right)$$

   令 $x = \frac{k}{n}$，则：

   $$P(x) \approx x \ln\left(\frac{1}{x}\right)$$

   对 $x$ 求导并令导数为零：

   $$\frac{dP}{dx} = \ln\left(\frac{1}{x}\right) - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{e}$$

   即最优 $k \approx \frac{n}{e}$，对应观察前约 37% 的选项。

结论：

• 最优停止点：前 37% 作为观察期，之后选择首个更优者。
• 成功概率：约 $\frac{1}{e} \approx 36.8%$，为理论最大值。
• 应用场景：招聘、投资、租房等需实时决策且不可回溯的问题。

公式总结：

$$\boxed{k = \frac{n}{e}, \quad P_{\text{max}} = \frac{1}{e}}$$

此策略平衡了“探索”与“利用”，以数学极限确保最大概率捕获最优解。