归并排序

复习八大基础排序算法。分类：

1. 插入类(直接插入、希尔排序)
2. 选择类（直接选择、堆排序）
3. 交换类（冒泡排序、快速排序）
   4. 归并排序
4. 还有外部排序（桶排序？）

复杂度分析

1. 空间复杂度： 2N + O(logN) （原始数组＋辅助数组＋递归过程）
2. 时间复杂度： Nlog(N)

Principle: T(N) = 2*T(N/2) + N （两个子问题＋ merge）
证明可以画递归树、或代数演算、或归纳法（最容易推导）

代码如下

递归地（TopDown）

	public static void mergeSort(Comparable[] a) {
		aux = new Comparable[a.length];
		sort(a, 0, a.length - 1, 0);
	}
	
	private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi, int dep) {
for (int i = 0; i < dep; i++)	StdOut.print("    ");
StdOut.println(String.format("sort(a[], %d, %d)", lo, hi));		
		if (hi <= lo)	return;
		int mid = (lo + hi) / 2;
		sort(a, lo, mid, dep+1);
		sort(a, mid + 1, hi, dep+1);
		merge(a, lo, mid, hi);
	}

	private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
		assert isSorted(a, lo, mid);
		assert isSorted(a, mid+1, hi);
		
		// 复制a[]到aux[]
		for (int k = lo; k <= hi; k++)	aux[k] = a[k];
		// 归并
		int i = lo, j = mid+1;
		for (int k = lo; k <= hi; k++) {
			if (i > mid)		a[k] = aux[j++];  //左半边遍历完了
			else if (j > hi)	a[k] = aux[i++];  //右半边遍历完了
			else if (less(aux[i], aux[j]))	a[k] = aux[i++];  // a[i]比a[j]小
			else				a[k] = aux[j++];    // j 位置较小
		}
		
		assert isSorted(a);
	}

图示

非递归地（BottomUp）

	public static void bottomUpMergeSort(Comparable[] a) {
		aux = new Comparable[a.length];
		int N = a.length;
		for (int sz = 1; sz < N; sz += sz)	// sz是子序列的长度，依次为 1, 2, 4, 8, 16, ... ，直到 N			
			for (int lo = 0; lo < N - sz + 1; lo += 2*sz)	// lo是合并所得子序列的下标，如sz=2时，lo依次为 0, 4, 8,...
				merge(a, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+2*sz-1, N-1));
	}