离散傅里叶级数DFS

一个周期为N的周期序列，即

k为任意整数，N为周期 

周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅里叶级数来表示，也即用周期为N的正弦序列以及其谐波来表示。        

周期为N的正弦序列其基频成分为：

     

K次谐波序列为：

                  

 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅里叶级数的不同之处，即：

因此：

将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数：

 利用正弦序列的周期性可求解系数

 将上式两边乘以 ,并对一个周期求和：

                                   

    

  上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零，所以有：

 或写为

1) 可求 N 次谐波的系数

2）也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅里叶级数

3）为周期序列，周期为N。

                

时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。

是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为:

习惯上记作：

则DFS变换对可写为

DFS[·] ——离散傅里叶级数变换

IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。

DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。

 

摘自---超星网课吴镇杨数字信号处理http://mooc1.chaoxing.com/nodedetailcontroller/visitnodedetail?courseId=1919103&knowledgeId=1919545