关于斐波那契数列的一点小结

斐波那契数列就是0,1,1,2,3,5……这样的一波数列，第三个数是前两个数的和。

兔子问题，上楼梯的台阶方法的个数问题，都是斐波那契数列。

斐波那契可以简单的用递归实现：

def fib(n)
   # Calculate the nth Fibonacci Number
   return n if n == 0 || n == 1
   return fib(n-1) + fib(n-2) 
end

简单有效，但是在n很大的时候时间长。

 

也可以用迭代来实现

def fib(n)
  return n if n == 0 || n == 1
  a, b = 0, 1
  until n == 1
     b = a + b
     a = b - a
     n -= 1
  end
  b
end    

时间复杂度o（n），空间复杂度o（1），就是两个变量a，b。

 

还有矩阵的方法

根据如下递推公式

可以求得，只需要计算矩阵[[1,1],[1,0]]的n次方即可，这个计算的时间复杂度是O（logn）

require 'matrix'
def fib(n)
  mat = Matrix[[1,1],[1,0]]
  return n if n == 0 || n == 1
  return mat_n(mat,n-1).first
end

 8 def mat_n(ma1,n) #计算矩阵的n次方
  return ma1 if n == 1
  n.even? ? mat_n(ma1,n/2)**2 : ma1*mat_n(ma1,n-1)
end

这些都是网上可以找到的方法。

 

还有一种迭代的方法，复杂度也是O（logn）。

具体内容如下：

http://mitpress.mit.edu/sicp/chapter1/node15.html

其思想也是将两次迭代表示成一次迭代，这样n次迭代就只有o(logn)的时间就可以完成了。

 

另外，以上讨论的都是正数的情况，如果斐波那契数列的参数是负数呢？

由f(n+2) = f(n+1) + f(n),可以知道f(n) = f(n+2) - f(n+1),因此负数的斐波那契数列也是存在的。

递归方法可以直接得到，迭代方法也可以直接应用，这个矩阵方法就有点麻烦了，直接找比较难找出这个矩阵，可以先看一下负数的序列，

f(-1) = f(1)-f(0) = 1 ,f(-2) = -1 ,f(-3) = 2, f(-4) = -3,f(-5) = 5……

0 1 1 2 3 5 8 ……

0 1 -1 2 -3 5 -8 ……

找到规律了，在参数小于0的时候，斐波那契数列是一正一负分布的，而且和参数大于0恰好对应。哈哈，是不是很巧？

于是，计算的时候只要在参数为正数的情况下考虑奇偶就行了。