ACM数据结构-并查集
并查集,在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合,然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中,其特点是看似并不复杂,但数据量极大,若用正常的数据结构来描述的话,往往在空间上过大,计算机无法承受;即使在空间上勉强通过,运行的时间复杂度也极高,根本就不可能在比赛规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果,只能用并查集来描述。
并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
主要操作
初始化
查找
合并
部分代码如下:
const int MAXSIZE = 100005; int pre[MAXSIZE]; void makeSet(int size) { for(int i=0;i<size;i++) pre[i]=i; }
接下来find操作
int find(int x) { int r=x; while(r!=pre[r]) r=pre[r]; return r; } void Merge(int x,int y) { int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx!=fy) pre[fx]=fy; }
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下面是两个版本的find操作:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int find(int x) 2 { 3 if(x!=pre[x]) 4 pre[x]=find(pre[x]); 5 return pre[x]; 6 }
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int find(int x) 2 { 3 int r=x , t; 4 while(pre[r]!=r) 5 r=pre[r]; //返回根节点 6 while(r!=x) //路径压缩 7 { 8 t=pre[x]; 9 pre[x]=r; 10 x=t; 11 } 12 return x; 13 }
最后是合并操作 unionSet,并查集的合并也非常简单,就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根,如图 所示。
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界,在合并时,总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说,就是总是将比较矮的树作为子树,添加到较高的树中。为了保存秩,需要额外使用一个与 pre 同长度的数组,并将所有元素都初始化为 0。
void unionSet(int x,int y) { int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx==fy) return ; if(rank[fx]>rank[fy]) pre[fy]=fx; else { pre[fx]=fy; if(rank[fx]==rank[fy]) rank[fy]++; } }
除了按秩合并,并查集还有一种常见的策略,就是按集合中包含的元素个数(或者说树中的节点数)合并,将包含节点较少的树根,指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似,同样可以提升并查集的运行速度,而且省去了额外的 rank 数组。
这样的并查集具有一个略微不同的定义,即若 uset 的值是正数,则表示该元素的父节点(的索引);若是负数,则表示该元素是所在集合的代表(即树根),而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示,同样包含递归和非递归的 find 操作:
const int MAXSIZE = 1000005; int pre[MAXSIZE]; void makeSet(int size) { for(int i = 0;i < size;i++) pre[i] = -1; } int find(int x) { if (pre[x] < 0) return x; pre[x] = find(pre[x]); return pre[x]; } int find(int x) { int r = x, t; while (pre[r] >= 0) r = pre[r]; while (x != r) { t = pre[x]; pre[x] = r; x = t; } return x; } void unionSet(int x, int y) { int fx = find(x); int fy = find(y); if (fx==fy) return; if (pre[fx] < pre[fy]) { pre[fx] += pre[fy]; pre[fy] = fx; } else { pre[fy] += pre[fx]; pre[fx] = fy; } }
如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数,可以使用 -pre[find(x)] 得到。