Catalan


 

原理:

  令h(0)=1,h(1)=1,catalan 数满足递归式:

        (其中n>=2)

  另类递推公式:

      

  该递推关系的解为:

        (n=1,2,3,...)

  卡特兰数的应用实质上都是递归等式的应用

  前几项为:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

应用:

 

问题描述:
  12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

问题分析:
  我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现,我们考虑这一个出现能不能放在第二排,显然,在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边,要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的,在这个1前面,统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求,0的个数大于1的个数。


如果把0看成入栈操作,1看成出栈操作,就是说给定6个元素,合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数,这里只是用于栈,等价地描述还有,二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数,其通项是c(2n, n)/(n+1)。

 

在<<计算机程序设计艺术>>,第三版,Donald E.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明:
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显然有c(2n, n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件)。
在任何不允许的序列中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中,以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明,不允许的序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

 

证明:

 

令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有{2n \choose n}个,下面考虑不满足要求的数目.

 

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

 

从而C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}

 

Catalan 典型应用:

1、括号化问题。矩阵链乘: P=A1×A2×A3×……×An,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?

   一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
                            XXXYYY     XYXXYY    XYXYXY    XXYYXY    XXYXYY
    将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
                         ((()))     ()(())      ()()()      (())()      (()())

2、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

 

  一个凸多边形区域,有N条边,将其划分为三角形区域,问共有多少种分割方法。

 

  (1)我们从最简单情况开始:N=3,f(3)=1;

 

    

 

  (2)当N=4,f(4)=2;

 

    

 

  (3)N边时

 

    

    我们从节点1开始考虑,要想分割成三角形区域,1不能和与它相邻的点连接,所以1可以   连接3,4,...,N-1;

    假设1连接i,则分割成的两个区域分别为i凸多边形和N+2-i凸多边形,即对于节点1,f1(N)=f(3)f(N+2-3)+f(4)f(N+2-4)+...+f(N-1)f(3);

    N多边形共N个点,对应于每个点有f1(N)中分割方法,总的分割方法为f(N)=Nf1(N),但是每增加一条边,其连接两个点,所以在f(N)中有

    一半是重复情况,所以最终的分割方法为:

       

 

类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

3、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n,有多少个不同的出栈序列?
类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

类似:一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作,每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

分析:对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

4、给顶节点组成二叉树的问题。
  给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?

   (1)n=0时,f(0)=1;

   (2)n=1时,f(1)=1;

   (3)n=2时,f(2)=4;

   (4) f(N)=N(f(0)f(N-1)+f(1)f(N-2)+...+f(i)f(N-1-i)+...+f(N-1)f(0));采用递归的思想,f(i)f(N-1-i)中f(i)表示左子树有i个节点可构造的二叉树数目,f(N-1-i)表示右子树有N-1-i个节点可构造的二叉树数目;

  两者相乘表示左右分别为i,N-1-i个节点时候这个大的二叉树的构造数目,又由于根节点的选择有N中选择方法,所以可得总的构造方法数目如式。

 

  (一定是二叉树!先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n))   (能构成h(N)个)

       在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。
       不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
       反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。
显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
(这个公式的下标是从h(0)=1开始的)

 

  1 //大数&&Catalan
  2 /*
  3 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,
  4 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
  5  6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,
  6   4861946401452, …
  7 */
  8 #include<iostream>
  9 #include<cstring>
 10 #include<iomanip>
 11 #include<algorithm>
 12 using namespace std;
 13 
 14 #define MAXN 9999
 15 #define MAXSIZE 10
 16 #define DLEN 4
 17 
 18 class BigNum
 19 {
 20 private:
 21     int a[500];    //可以控制大数的位数
 22     int len;       //大数长度
 23 public:
 24     BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数
 25     BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
 26     BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
 27     BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
 28     BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算
 29 
 30     friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符
 31     friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符
 32 
 33     BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符,两个大数之间的相加运算
 34     BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符,两个大数之间的相减运算
 35     BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符,两个大数之间的相乘运算
 36     BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符,大数对一个整数进行相除运算
 37 
 38     BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
 39     int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
 40     bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
 41     bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较
 42 
 43     void print();       //输出大数
 44 };
 45 BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
 46 {
 47     int c,d = b;
 48     len = 0;
 49     memset(a,0,sizeof(a));
 50     while(d > MAXN)
 51     {
 52         c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
 53         d = d / (MAXN + 1);
 54         a[len++] = c;
 55     }
 56     a[len++] = d;
 57 }
 58 BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
 59 {
 60     int t,k,index,l,i;
 61     memset(a,0,sizeof(a));
 62     l=strlen(s);
 63     len=l/DLEN;
 64     if(l%DLEN)
 65         len++;
 66     index=0;
 67     for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
 68     {
 69         t=0;
 70         k=i-DLEN+1;
 71         if(k<0)
 72             k=0;
 73         for(int j=k;j<=i;j++)
 74             t=t*10+s[j]-'0';
 75         a[index++]=t;
 76     }
 77 }
 78 BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
 79 {
 80     int i;
 81     memset(a,0,sizeof(a));
 82     for(i = 0 ; i < len ; i++)
 83         a[i] = T.a[i];
 84 }
 85 BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算
 86 {
 87     int i;
 88     len = n.len;
 89     memset(a,0,sizeof(a));
 90     for(i = 0 ; i < len ; i++)
 91         a[i] = n.a[i];
 92     return *this;
 93 }
 94 istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符
 95 {
 96     char ch[MAXSIZE*4];
 97     int i = -1;
 98     in>>ch;
 99     int l=strlen(ch);
100     int count=0,sum=0;
101     for(i=l-1;i>=0;)
102     {
103         sum = 0;
104         int t=1;
105         for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
106         {
107             sum+=(ch[i]-'0')*t;
108         }
109         b.a[count]=sum;
110         count++;
111     }
112     b.len =count++;
113     return in;
114 
115 }
116 ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符
117 {
118     int i;
119     cout << b.a[b.len - 1];
120     for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
121     {
122         cout.width(DLEN);
123         cout.fill('0');
124         cout << b.a[i];
125     }
126     return out;
127 }
128 
129 BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
130 {
131     BigNum t(*this);
132     int i,big;      //位数
133     big = T.len > len ? T.len : len;
134     for(i = 0 ; i < big ; i++)
135     {
136         t.a[i] +=T.a[i];
137         if(t.a[i] > MAXN)
138         {
139             t.a[i + 1]++;
140             t.a[i] -=MAXN+1;
141         }
142     }
143     if(t.a[big] != 0)
144         t.len = big + 1;
145     else
146         t.len = big;
147     return t;
148 }
149 BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算
150 {
151     int i,j,big;
152     bool flag;
153     BigNum t1,t2;
154     if(*this>T)
155     {
156         t1=*this;
157         t2=T;
158         flag=0;
159     }
160     else
161     {
162         t1=T;
163         t2=*this;
164         flag=1;
165     }
166     big=t1.len;
167     for(i = 0 ; i < big ; i++)
168     {
169         if(t1.a[i] < t2.a[i])
170         {
171             j = i + 1;
172             while(t1.a[j] == 0)
173                 j++;
174             t1.a[j--]--;
175             while(j > i)
176                 t1.a[j--] += MAXN;
177             t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
178         }
179         else
180             t1.a[i] -= t2.a[i];
181     }
182     t1.len = big;
183     while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
184     {
185         t1.len--;
186         big--;
187     }
188     if(flag)
189         t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
190     return t1;
191 }
192 
193 BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算
194 {
195     BigNum ret;
196     int i,j,up;
197     int temp,temp1;
198     for(i = 0 ; i < len ; i++)
199     {
200         up = 0;
201         for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
202         {
203             temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
204             if(temp > MAXN)
205             {
206                 temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
207                 up = temp / (MAXN + 1);
208                 ret.a[i + j] = temp1;
209             }
210             else
211             {
212                 up = 0;
213                 ret.a[i + j] = temp;
214             }
215         }
216         if(up != 0)
217             ret.a[i + j] = up;
218     }
219     ret.len = i + j;
220     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
221         ret.len--;
222     return ret;
223 }
224 BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
225 {
226     BigNum ret;
227     int i,down = 0;
228     for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
229     {
230         ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
231         down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
232     }
233     ret.len = len;
234     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
235         ret.len--;
236     return ret;
237 }
238 int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
239 {
240     int i,d=0;
241     for (i = len-1; i>=0; i--)
242     {
243         d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
244     }
245     return d;
246 }
247 BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
248 {
249     BigNum t,ret(1);
250     int i;
251     if(n<0)
252         exit(-1);
253     if(n==0)
254         return 1;
255     if(n==1)
256         return *this;
257     int m=n;
258     while(m>1)
259     {
260         t=*this;
261         for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
262         {
263             t=t*t;
264         }
265         m-=i;
266         ret=ret*t;
267         if(m==1)
268             ret=ret*(*this);
269     }
270     return ret;
271 }
272 bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
273 {
274     int ln;
275     if(len > T.len)
276         return true;
277     else if(len == T.len)
278     {
279         ln = len - 1;
280         while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
281             ln--;
282         if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
283             return true;
284         else
285             return false;
286     }
287     else
288         return false;
289 }
290 bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
291 {
292     BigNum b(t);
293     return *this>b;
294 }
295 
296 void BigNum::print()    //输出大数
297 {
298     int i;
299     cout << a[len - 1];
300     for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
301     {
302         cout.width(DLEN);
303         cout.fill('0');
304         cout << a[i];
305     }
306     cout << endl;
307 }
308 int main()
309 {
310     int i,n;
311     BigNum x[101];      //定义大数的对象数组
312     x[0]=1;
313     for(i=1;i<101;i++)
314         x[i]=x[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
315     while(scanf("%d",&n)==1 && n!=-1)
316     {
317         x[n].print();
318     }
319 }
Catalan 高精度

 

posted on 2018-06-05 21:09  slp0622  阅读(7859)  评论(2编辑  收藏  举报