878. 第 N 个神奇数字 ----- 辗转相除求最大公因数、二分法查找指定值、逆向

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 109 + 7 取模 后的值。

 

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2
示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6
 

提示：

1 <= n <= 109
2 <= a, b <= 4 * 104
 

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来源：力扣（LeetCode）
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将待求值作为因变量X  题意转换成 待求指定函数值Y：

令 f(x) 等于所有小于等于 x 的神奇数字的数量，f(x) 是单调递增的。所以我们可以使用二分查找找到第一个使 f(x) = n 的 x 的值。x 即为答案。

class Solution {
    typedef long long LL;
    const int MOD = 1e9 + 7;
public:
    int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        int lcm = a / gcd(a, b) * b; // 辗转相除法

        //二分法
        LL l = 0;
        LL r =  n * 1ll * min(a, b);
        while (l < r) {
            LL mid = (l + r) >> 1;
            LL cnt = mid / a + mid / b - mid / lcm;
            if (cnt >= n) {
                r = mid; 
            } else {
                l = mid + 1; 
            }
        }

        return (int) (l % MOD);
    }
    
private:
    int gcd(int a, int b) {
        return b ? gcd(b, a % b) : a;
    }
};