891. 子序列宽度之和 ----- 贡献值法

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。
示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0
 

提示：

1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 105

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths
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class Solution {
    const int MOD = 1e9 + 7;
public:
    int sumSubseqWidths(vector<int> &nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size(), pow2[n];
        pow2[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i)
            pow2[i] = pow2[i - 1] * 2 % MOD; // 预处理 2 的幂次
        long ans = 0L;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            ans += long(pow2[i] - pow2[n - 1 - i]) * nums[i]; // 在题目的数据范围下，这不会溢出
        return (ans % MOD + MOD) % MOD; // 注意上面有减法，ans 可能为负数
    }
};

【C++】数学（乘法）

• 假如数组：[2,1,3],因为子序列顺序不会对结果产生影响
• 比如它的子序列[1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 跟[1,2,3]的子序列[1],[2],[3],[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3]最终结果是一样的
• 所以我们按照递增排序后讨论，这样每个元素都比它左边大或相等(作为最大值)，比它右边小(作为最小值)
• 那么我们只需要讨论每个元素左右的贡献值，我们不妨拿数字2作为例子，那么它作为最大值贡献了2^i次(i=1,排序后)，作为最小值贡献了2^(n-i-1)次,可以用数学归纳证明(这里略)，注：贡献都包含本身统计，结果相减没影响
• 结果就是每个数贡献值相加sum(2^i-2^(n-i-1))*nums[i])