Python计算期权隐含波动率
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Black-Scholes 将期权价格描述为标的价格、行权价、无风险利率、到期时间和波动性的函数。
在本文中，我们使用的波动率值是对未来已实现价格波动率的估计。
鉴于股票价格、行权价、无风险利率和到期时间都是已知且容易找到的，我们实际上可以将市场上的期权价格视为 σ 的函数。
期权的价格在 σ 中单调增加，这意味着随着波动性的增加，期权的价值也会增加，如下图所示。
当价格等于期权行权价时，其结果是线性的（中间图）。而当行权价高于或低于当前价格时（左右图），波动性的增加也会对期权价格产生积极影响。
寻找市场隐含波动率
以下是 GOOG 的看涨期权报价，其行使价为 585.00，到期日为 2014 年 10 月 18 日。最后交易价格为 17.50 美元。
从目前收集到的数据中，我们可以看到：
V=BS(S,K,r,T,σ)
$17.50=BS(586.08,585.00,0.0002,0.10958....,σ)
虽然上述方法可行，但它相当不精确。 我们可以做的是使用求根方法，如二分法或牛顿法。
牛顿法
牛顿法是一种寻找函数根的提高近似值的方法。通过隐含波动率，我们试图找出使我们的期权价格尽可能接近 8.50 美元的 σ 值。
这里，我们的 f(x) 函数是期权定价的 Black-Scholes 方程：
Vmodel=f(x)=BS(σ)
那么让我们在python中实现牛顿的方法：
def find_vol(target_value, call_put, S, K, T, r):
MAX_ITERATIONS = 100
PRECISION = 1.0e-5
sigma = 0.5
for i in xrange(0, MAX_ITERATIONS):
price = bs_price(call_put, S, K, T, r, sigma)
vega = bs_vega(call_put, S, K, T, r, sigma)
price = price
diff = target_value - price # 我们的根
print i, sigma, diff
if (abs(diff) < PRECISION):
return sigma
sigma = sigma + diff/vega # f(x) / f'(x)
# 未找到值，返回迄今为止的最佳猜测
return sigma
这里，我们将精度设置为 1e-5 (0.00001)，并且我们不会执行超过 100 次的猜测。
我们还需要两个计算Black-Scholes公式的函数，bs_price 和 bs_vega：
n = norm.pdf
N = norm.cdf
def bs_price(cp_flag,S,K,T,r,v,q=0.0):
d1 = (log(S/K)+(r+v*v/2.)*T)/(v*sqrt(T))
d2 = d1-v*sqrt(T)
if cp_flag == 'c':
price = S*exp(-q*T)*N(d1)-K*exp(-r*T)*N(d2)
else:
price = K*exp(-r*T)*N(-d2)-S*exp(-q*T)*N(-d1)
return price
def bs_vega(cp_flag,S,K,T,r,v,q=0.0):
d1 = (log(S/K)+(r+v*v/2.)*T)/(v*sqrt(T))
return S * sqrt(T)*n(d1)
让我们尝试找出上面报价的隐含波动率：
V_market = 17.5
K = 585
T = (datetime.date(2014,10,18) - datetime.date(2014,9,8)).days / 365.
S = 586.08
r = 0.0002
cp = 'c' # 看涨期权
implied_vol = find_vol(V_market, cp, S, K, T, r)
print 'Implied vol: %.2f%%' % (implied_vol * 100)
print 'Market price = %.2f' % V_market
print 'Model price = %.2f' % bs_price(cp, S, K, T, r, implied_vol)
运行Python代码，得到结果：
Implied vol: 21.92%
Market price = 17.50
Model price = 17.50
到这里，我们已经成功计算了上述期权的隐含波动率。 2014 年 10 月 18 日到期的 585 美元看涨期权的隐含波动率为 21.92%。
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