BZOJ 2048 2009国家集训队 书堆 数学算法

题目大意：经典的物理上的桌边堆书问题，初中物理老师以前还讲过，只是仅仅记住了结论。

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没关系，简单证明一下就好

首先我们设由上至下第i本书比它以下那本书多伸出去的长度为a[i]，前缀和为s[i]，那么我们要求的就是s[n]

为了简化问题我们设一本书的长度为1

如果n=1

a[1]=1/2，毫无疑义

然后考虑两本书

两本书的时候，重心明显在距以下那本书左端点的3/4处，故a[2]=1-3/4=1/4

好的我知道了。第一本是1/2，第二本是1/4。那么第三本就是1/8！

这样想的同学都仅仅过了例子。

我们考虑三本书的情况

这个是怎么算的呢？

首先先算三本书的重心距第三本书左端点的距离

第一本书的重心为1/4 + 1/2 + 1/2

第二本书的重心为1/4           + 1/2

第三本书的重心为                    1/2

于是我们能够得到三本书的重心位置为(1/4*2+1/2+1/2*3)/3=1/2*2/3+1/2

于是a[3]=1-(1/2*2/3+1/2)=1/2-1/2*2/3=1/2*(1-2/3)=1/2*1/3=1/6

然后四本书的情况就不用多说了吧

讨论四本书的重心距第四本书左端点的距离

第一本书的重心位置为：1/6 + 1/4 + 1/2 + 1/2

第二本书的重心位置为：1/6 + 1/4           + 1/2

第三本书的重心位置为：1/6                     + 1/2

第四本书的重心位置为：                              1/2

于是四本书重心位置为(1/6*3+1/4*2+1/2+1/2*4)/4=1/2*3/4+1/2

a[4]=1-(1/2*3/4+1/2)=1/2-1/2*3/4=1/2*(1-3/4)=1/2*1/4=1/8

以此类推，我们有a[i]=1/2i

那么这个东西怎么求和呢？n<=10^18，O(n)肯定是不现实的

我们考虑调和级数极限公式

lim(n->+∞)1/1+1/2+1/3+...+1/n = ln(n+1)+r

当中r为欧拉常数 近似值约为0.57721566490153286060651209

但这是极限公式 对于n比較小的情况误差会比較大 所以当n比較小的时候O(n)暴力出解 n比較大的时候套用公式

分界线理论上O(n)能过去即可 1000W左右就能够 可是这题精度实在太低 所以1W就能过去 0MS出解

然后就水过去了。

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一不小心手贱压了下代码 然后就RANK1了。。

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此外100%达成 补番去了

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define eps 1e-10
#define r 0.5772156649
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m;
double ans;
int main()
{
	int i;
	cin>>n>>m;
	if(n<=10000)
		for(i=1;i<=n;i++)
			ans+=0.5/i;
	else
		ans=log(n+1.0)+r,ans/=2.0;
	ans*=m;
	printf("%d\n",(int)(ans-eps) );
}