最大公约数问题
引言:
最大公约数就是给出两个数。找出它们的最大公约数。该问题算法实现技巧性比較强,面试中常出现,如今分析之。
问题描写叙述:
给出两个正整数A、B,求出这两个正整数的最大公约数。
算法一:更相减损术
更相减损术又称“等值算法”,由我国古代《九章算术》中提出。描写叙述例如以下:“以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者皆等数之重叠,故以等数约之。”就是说。对于给定的两个整数,更替的相减,最后直到两个数相等,即为開始给出的两个数的最大公约数。
比如:(100,40)->(60,40)->(20,40)->(20,20)。20就是100和40的最大公约数。
int gcd(int a, int b) { while(a != b){ if(a < b) b = b - a; else a = a - b; } return a; }
算法二:辗转相除法、
辗转相除法又称欧几里得算法。
辗转相除法是利用下面性质来确定两个正整数a和b的最大公因子的:
1.若r是a÷b的余数,则gcd(a,b)=gcd(b,r)
2.a和其倍数之最大公因子为a。
还有一种写法是:
1.a÷b,令r为所得余数(0≤r<b)。若r=0,算法结束;b即为答案。
2.互换:置a←b,b←r。并返回第一步。
/*辗转相除法——纯循环*/
unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N) { unsigned int Rem; while(N > 0){ Rem = M % N; M = N; N = Rem; } return M; }
/*辗转相除法——递归*/
unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N) { if(N == 0) return M; else return Gcd(N, M % N); }
注意:
1、对于用循环实现的辗转相除法求最大公约数,其时间复杂度是O(logN)。
2、由于对于该问题主要考虑的是算法问题,所以对传入的參数未加检查。