1127noip模拟赛(命运fate)

智慧t2，我不智慧，赛时想到了一点点。。

题意：

给一个单调不降的序列 $a_1,a_2,...,a_n$ 。给定一个整数 $x$ 。求一个 $b$ 序列使得任意 $\forall i(1<i\le n) \ a_i-b_i<a_{i+1}-b_{i+1}$ 且 $\forall i<j<x\ \ b_i\le b_j.\forall x<j<i\ \ b_i\le b_j$ 。

做法：

整理一下设最后的 $a_i-b_i$ 序列为 $c$ .

当 $1\le i<x:$

a_{i} \leq a_{i + 1} b_{i} \leq b_{i + 1} c_{i} \leq c_{i + 1} a_{i} - c_{i} \leq a_{i + 1} - c_{i + 1} c_{i} - a_{i} \geq c_{i + 1} - a_{i + 1} c_{i} + a_{i + 1} - a_{i} \geq c_{i + 1} c_{i} \leq c_{i + 1} \leq c_{i} + a_{i + 1} - a_{i}

$a_i\le a_{i+1}\\ b_i\le b_{i+1}\\ c_i\le c_{i+1}\\ \\ a_i-c_i\le a_{i+1}-c_{i+1}\\ c_i-a_i\ge c_{i+1}-a_{i+1}\\ c_i+a_{i+1}-a_{i}\ge c_{i+1}\\ c_i\le c_{i+1}\le c_i+a_{i+1}-a_{i}$

所以取值范围有 $a_{i+1}-a_i+1$ 种。直接 prod 起来就好。

当 $x<i\le n$ :

也就是要求 $x$ 右侧的不降序列，再减去一个不增序列，仍然是一个不降序列，且要求最终序列第一个元素不小于 $a_x$ 。

不难发现，在这种情况下，如果最终序列第一个元素不小于 $a_x$ 的要求被满足，后面的元素依然还是不降的（后面更大的元素，减去了一个更小的数，显然还是不会比你小）。令 $len=n-x$ $y=a_{x+1}-a_x$ ，那么问题变成了数长度为 $len$ ，值域在 $[0,d]$ 的序列个数。

插板法一下，答案就是 $\binom{y+len}{len}$ .

然后两边乘起来。

最终答案就是

(\binom{a_{x + 1} - a_{x} + n - x}{n - x}) \prod_{i = 1}^{x - 1} (a_{i} - a_{i - 1} + 1)

$\binom{a_{x+1}-a_x+n-x}{n-x}\prod_{i=1}^{x-1}(a_{i}-a_{i-1}+1)$

妙妙妙妙米奇妙妙屋

代码：

直接放std了。懒得写。对不起。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,a[300005],x;
int qpow(int a,int b)
{
	if(b==0) return 1;
	int g=qpow(a,b/2);
	g=1ll*g*g%mod;
	if(b&1) g=1ll*g*a%mod;
	return g;
}
int solvel()
{
	int ans=1;
	for(int i=1;i<x;i++)
	{
		ans=1ll*ans*(a[i]-a[i-1]+1)%mod;
	}
	return ans;
}
int solver()
{
	if(x==n) return 1;
	int d=a[x+1]-a[x],ans=1,len=n-x;
	//C(d+len,len)
	for(int i=len,j=d+len;i>=1;i--,j--)
	{
		ans=1ll*ans*qpow(i,mod-2)%mod*j%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	freopen("fate.in","r",stdin);
	freopen("fate.out","w",stdout);
	assert(cin>>n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		assert(cin>>a[i]);
	}
	assert(cin>>x);
	cout<<1ll*solvel()*solver()%mod;
	assert(!(cin>>x));
}