01背包问题和完全背包问题，一个不理解的关键。
01背包问题
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
以上这段是复制的。如果百度查，很多地方都会是这样。
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
这里是倒着推。网上到处说
倒着推的理由是 如果顺着推，f[ v-c[i] ]可能是 F[i][ v-c[i] ]的值，倒着推就是f [i-1][ v-c[i] ]的值。顺推可能一个物品选取了多次。
我之前怎么都不理解。
例子
（物品数量）N=4 ，（背包容量） V=6
空间(质量) 价值
c[1] 1, w[1] 4
c[2] 2, w[2] 6
c[3] 3, w[3] 12
c[4] 2, w[4] 7
这是poj 3624的一部分代码：
for(i=1; i<=n; i++)
{
for(j=V; j>=c[i]; j--)
{
f[j] = max( f[j], f[ j-c[i] ] + w[i]);
}
}
f[....]=0;
i=1; c[1]=1; w[1]=4
f[6]=max(f[6]=0,f[5]=0 + 4)=4;
f[5]=max(f[5]=0,f[4]=0 + 4)=4;
f[4]=max(f[4]=0,f[3]=0 + 4)=4;
f[3]=max(f[3]=0,f[2]=0
+ 4)=4;
f[2]=max(f[2]=0,f[1]=0 + 4)=4;
f[1]=max(f[1]=0,f[0]=0
+ 4)=4;
j>=c[1]=1已经不满足，i++;
i=2;c[2]=2; w[2]=6
f[6]=max(f[6]=0,f[4]=4
+ 6)=10; //在这里 f[ v-c[i] ] 不可能是在这个i=2的情况里面 ，而是来自于i=1; 因为 。左边的v>大于右边的v-c[i];
f[5]=max(f[5]=4,f[3]=4
+ 6)=10;
......
f[2]=max(f[2]=4,f[0]=0 + 6)=6;
所以 max(A,B)，中的B 来源于i-1的情况中计算出的结果。
先出现 f[6.5.4.3.2] 的值，
而 f[4.3.2.1.0] 的值就来自i-1里面的f[4.3.2.1.0]
如果改成顺推
for(i=1; i<=n; i++)
{
for(j=c[i]; j<=V; ++j)
{
f[j] = max(f[j], f[ j-c[i] ] + w[i]);
}
}
f[....]=0;
i=1; c[1]=1; w[1]=4
f[1]=max(f[1]=0,f[0]=0 + 4)=4;
f[2]=max(f[2]=0,f[1]=4 + 4)=8;
f[3]=max(f[3]=0,f[2]=8 + 4)=12;
f[4]=max(f[4]=0,f[3]=12 + 4)=16;
f[5]=max(f[5]=0,f[4]=16 + 4)=20;
f[6]=max(f[6]=0,f[5]=20 + 4)=24; （全部装了第一个物品，装了6个装满了）
j<=6已经不满足，i++;
...
// f[1.2.3.4.5.6] 按顺序计算出来，
而f[0.1.2.3.4.5]的值直接来源于 上面计算出来的值。
到这里，我恍然大悟。
所以
完全背包的问题就是这样的
与01背包问题不同的是，一件物品可以取多次。
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[ v-c[i] ]+w[i]};
只需要顺着推。
这是poj1384的核心代码
for(i=0; i<n; ++i)
{
for(j=c[i]; j<=V; j++)
{
f[j] = min(f[j], f[ j-c[i] ] + w[i]);
}
}
字母已经改过，便于理解区别。
