吴恩达机器学习笔记56-多元高斯分布及其在误差检测中的应用（Multivariate Gaussian Distribution & Anomaly Detection using the Multivariate Gaussian Distribution）

一、多元高斯分布简介　　

　　假使我们有两个相关的特征，而且这两个特征的值域范围比较宽，这种情况下，一般的
高斯分布模型可能不能很好地识别异常数据。其原因在于，一般的高斯分布模型尝试的是去
同时抓住两个特征的偏差，因此创造出一个比较大的判定边界。

　　下图中是两个相关特征，洋红色的线（根据ε 的不同其范围可大可小）是一般的高斯分
布模型获得的判定边界，很明显绿色的X 所代表的数据点很可能是异常值，但是其𝑝(𝑥)值却
仍然在正常范围内。多元高斯分布将创建像图中蓝色曲线所示的判定边界。

　　在一般的高斯分布模型中，我们计算 𝑝(𝑥) 的方法是： 通过分别计算每个特征对应的
几率然后将其累乘起来，在多元高斯分布模型中，我们将构建特征的协方差矩阵，用所有的
特征一起来计算 𝑝(𝑥)。

我们首先计算所有特征的平均值，然后再计算协方差矩阵：

注:其中𝜇 是一个向量，其每一个单元都是原特征矩阵中一行数据的均值。最后我们计
算多元高斯分布的𝑝(𝑥):

其中：|𝛴|是定矩阵，在 Octave 中用 det(sigma)计算

下面我们来看看协方差矩阵是如何影响模型的：

　　上图是5 个不同的模型，从左往右依次分析：
　　1. 是一个一般的高斯分布模型
　　2. 通过协方差矩阵，令特征1 拥有较小的偏差，同时保持特征2 的偏差
　　3. 通过协方差矩阵，令特征2 拥有较大的偏差，同时保持特征1 的偏差
　　4. 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的正相关
性
　　5. 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的负相关
性

　　多元高斯分布模型与原高斯分布模型的关系：
　　可以证明的是，原本的高斯分布模型是多元高斯分布模型的一个子集，即像上图中的第
1、2、3，3 个例子所示，如果协方差矩阵只在对角线的单位上有非零的值时，即为原本的高
斯分布模型了。

　　原高斯分布模型被广泛使用着，如果特征之间在某种程度上存在相互关联的情况，我们
可以通过构造新新特征的方法来捕捉这些相关性。
　　如果训练集不是太大，并且没有太多的特征，我们可以使用多元高斯分布模型。

 

二、多元高斯分布在误差检测中的应用

应用步骤：

原高斯分布模型和多元高斯分布模型的比较（下下图为原版）：

一般来说，原高斯分布模型用得更多一些，如果有两个特征相关，可以尝试创建一个新特征来描述它俩的关系，实在不行或者如上表右边的情况，才用多元高斯分布模型。