高等数学之一元函数微分学

一元函数微分学

导数与微分

1.1 导数的概念及其几何意义

2.3.1 导数的定义

导数第一定义式：\(\begin{aligned} f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}\)

导数第二定义式：\(\begin{aligned} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{aligned}\) (用来求可导性)

推广式：\(\begin{aligned} \frac{a-b}{c}f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0 + a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{c\Delta x} \end{aligned}\)

eg: 设\(\begin{aligned}f'(x_0)=2,则\lim\limits_{n\to\infty}n \cdot[f(x_0+\frac{3}{n})-f(x_0)] \end{aligned}\) = _____

解: n * x,就等于\(\begin{aligned}\frac{x}{\frac{1}{n}}\end{aligned}\) ,所以

\(\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{[f(x_0+\frac{3}{n})-f(x_0)]}{\frac{1}{n}}\end{aligned} = 3\)

\(\begin{aligned}3f'(x_0) = 6\end{aligned}\)

中值定理及导数的应用

2.1 罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日

挖坑

2.2 洛必达(L’Hospital)法则

挖坑

2.3 导数的应用

目标：会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题。

2.3.1 函数的单调性

1. 求函数的定义域
2. 求\(f'(x)\),也就是求出函数的导数
3. 令\(f'(x)\)= 0, 求出驻点和不可导点（不在定义域内的要舍去）
4. 列表判断

eg：

求\(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2\)的单调性.

解:

1. \(f(x)\)的定义域为\((-∞,+∞)\)

2. \(f'(x)\)为\(f(x)=3x^2-12x+9\) 得\(3(x-1)(x-3)\)

3. \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=0\) 得驻点为：\(x_1=1,x_2=3\)

4. 最后列表讨论

   \(x\)	\((-∞,1)\)	\((1,3)\)	\((3,+∞)\)
   \(f'(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
   \(f(x)\)	\(↑\)	\(↓\)	\(↑\)

   可以看出，单调增区间：\((-∞,1)\)、\((3,+∞)\) 单调减区间：\((1,3)\)

2.3.2 函数的极值

与2.3.1相同解法

例题如下：

求\(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2\)的单调性.

\(x\)	\((-∞,1)\)	1	\((1,3)\)	3	\((3,+∞)\)
\(f'(x)\)	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
\(f(x)\)	\(↑\)	2	\(↓\)	-2	\(↑\)

得到最大值 2 最小值-2

2.3.3 函数的最值

1. 求函数的定义域
2. 求端点值和极值
3. 比较以上函数值$\begin{cases} 最大=>最大值\ 最小=>最小值\end{cases} $

eg：

求\(y=x^4-8x+2 \ \ \ \ (-1<=x<=3)\)

当x=-1时 y=-5

当x=3时 y=11

求极值 令\(f'(x) = 0\)

\(f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)\)

得驻点：\(x_1 = 0,x_2=-2(舍去),x_3=2\)

当x=0时y = 2

当x=2时y=-14

得：最大值为y(3) = 11,最小值y(2) = -14

2.3.4 单调性证明不等式

步骤：

1. 把左边的移到右边得到f(x)
2. 求导判断单调性

eg: 当x>0时,\(cosx>1-\frac{x^2}{2}\)

令\(f(x)\) = \(cosx- 1 +\frac{x^2}{2}\)

则\(f'(x)=-sinx+x=x-sinx\),由于x>sinx ,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)单调递增.

又\(f(x)\)的最小值\(f(0)=0\)

所以x>0时,f(x)>0成立

即x>0时,\(cosx>1-\frac{x^2}{2}\)成立

$f(x)>f(0)=f(x)>0 = $$cosx- 1 +\frac{x^2}{2}>0$

一些可以直接拿来用的不等式：

\(当0<x<\frac{π}{2}时,sinx<x<tanx\)

\(当x>0时,ln(1+x)<x\)

2.3.5 方程根的个数

挖了

2.3.6 二阶导

\(\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} \end{aligned}\)

2.4 曲线

目标：会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点，会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)。

2.4.1 凹凸性和拐点

概念：

1. 凹凸性：判断：$\begin{cases} f''(x)>0,f(x)凹\ f''(x)<0,f(x)凸\end{cases} $
2. 拐点：曲线凹凸性发生改变的点，是个函数坐标，记作（x,f(x))。一般为\(f''(x)=0\)的点，\(f''(x)\)不存在的点。

做题方法：

1. 确定函数的定义域
2. 求\(f''(x)\),且令\(f''(x)=0\)或\(f''(x)\)不存在的点。
3. 列表分割定义域，讨论子区间\(f''(x)\)的正负性：$\begin{cases} f''(x)>0,f(x)凹\ f''(x)<0,f(x)凸\end{cases} $

eg: 设\(f(x)=x^4-6x^3+12x^2-6\)的凹凸性和拐点

解：

1. \(f(x)\)的定义域为\((-∞,+∞)\)

2. \(f''(x)=12(x-1)(x-2)\) 得 \(x_1=1,x_2=2\)

3. 列表讨论

   \(x\)	\((-∞,1)\)	1	\((1,2)\)	2	\((2,+∞)\)
   \(f''(x)\)	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
   \(f(x)\)	凹	拐点(1,1)	凸		凹

由此可得：凹区间有\((-∞,1)\)、\((2,+∞)\)，凸区间：\((1,2)\)

拐点有：(1,1)，(2,10)

2.4.2 曲线的渐近线

若\(\lim_{n\rightarrow\infty}f(x)=c\),则y = c为水平渐近线

若\(\lim_{n\rightarrow a}f(x)=∞\),则x = a为垂直渐近线

若\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=a≠0\),且则\(\lim_{n\rightarrow\infty}[f(x)-ax]=b\),则y = ax+b为斜渐近线