Tarjan-求强连通分量

知识点-Tarjan

强连通分量：在一个图的子图中，任意两个点相互可达，也就是存在互通的路径，那么这个子图就是强连通分量（或者称为强连通分支）。如果一个有向图的任意两个点相互可达，那么这个图就称为强连通图。

当我们实现基于dfs的Tarjan算法时，我们用D[i]记录节点i被访问的时间（别的博客用dfn[i]），用F[i]记录节点i或i的子树最小可以返回到的节点j的D[j]（别的博客用low[i]）。

让我们模拟一下dfs的过程，每个节点上左边的是D的值，右边的是F的值。

首先从节点1开始往下深搜，每次搜索都更新D值和F值，此时F值是节点本身。

当搜索到节点4时，已经无法继续搜索。而此时D值=F值，所以我们可以判定一个强连通分量（在代码中，需要借助“栈”来寻找强连通分量中所有节点），这个强连通量就是节点4。

从图我们也可以看出，节点4无法到达其它任意节点。

从节点4返回至3，此时节点3也无路可走了。而D值=F值，那么又可以判定一个强连通分量节点3。

从3返回至2，节点2还有一条路可走！深搜节点5，修改其D值和F值。

 

节点5有路通向节点1，发现节点1的值已经被修改过了的！节点5的F值要修改成1，也就是它到达D值最远的节点是1。修改完后无需继续深搜节点1否则会造成死循环！而D值不等于F值，所以返回。

修改节点2的F值后，再返回。

从节点2返回至1，还有一条路通往节点6。深搜节点6并修改6的D值和F值。

节点6有路通向节点5，发现节点5的值已经被修改过！于是修改节点6的F值后返回至节点1。

当返回到节点1时，已经无路可走，D值等于F值，所以又一个强连通分量出来了……

以上的过程都可以用代码来实现。要注意F值的修改：

如果节点i的子节点j的值没有被修改，那么F[i]=min(F[i],F[j]);

否则F[i]=min(F[i],D[j]);

例题

题目描述

求强连通分量……

输入

第一行两个整数，n,m，代表点数及边数。

第2行至m+1行，每行两个整数，a，b，代表有向边的起点和终点。

输出

输出所有强连通分量

样例输入

6 8
1 2
2 3
3 6
5 6
2 5
5 1
1 4
4 5

样例输出

6
3
2 5 4 1

代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
struct point{ 
    int nxt,to; 
}edge[1001]; 
int d[1001],f[1001],stack[1001],head[1001]={0}; 
bool vis[1001]; 
int tol,cnt,n,m,a,b,index; 
void add(int u,int v) 
{ 
    edge[++cnt].to=v; 
    edge[cnt].nxt=head[u]; 
    head[u]=cnt; 
} 
int tarjan(int node) 
{ 
    tol++; 
    d[node]=f[node]=tol; 
    stack[++index]=node; 
    vis[node]=1; 
    for(int i=head[node];i!=0;i=edge[i].nxt) 
    { 
        if(!d[edge[i].to]) 
        { 
            tarjan(edge[i].to); 
            f[node]=min(f[edge[i].to],f[node]); 
        } 
        else if(vis[edge[i].to]) 
        f[node]=min(d[edge[i].to],f[node]); 
    } 
    if(d[node]==f[node]) 
    { 
        do
        { 
            printf("%d",stack[index]); 
            if(node!=stack[index])printf(" "); 
            vis[stack[index]]=0; 
            index--; 
        }while(node!=stack[index+1]); 
        printf("\n"); 
    } 
} 
int main() 
{ 
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    { 
        scanf("%d%d",&a,&b); 
        add(a,b); 
    } 
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(!d[i])tarjan(i);  
    return 0; 
}