中国剩余定理

简介#

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中$m_1,m_2,...,m_k$ 互质）

$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\equiv} & {a_{1}\left(\bmod \ m_{1}\right)} \\ {x} & {\equiv} & {a_{2}\left(\bmod \ m_{2}\right)} \\ {} & {\vdots} & {} \\ {x} & {\equiv} & {a_{n}\left(\bmod \ m_{k}\right)} \end{array}\right.$$

算法#

1. 设$M=\prod_{i=1}^{k} m_{i} \ , \ M_{i}=\frac{M}{m_{i}} \ , \ M_{i} t_{i} \equiv 1 \ \left(\bmod m_{i}\right)$ , 其中 $1 \leq i \leq k$ ,

2. 构造出一通解 $x=\sum_{i=1}^{k} a_{i} M_{i} t_{i}$ ,

3. 得 任意解为 $x_0 = x+k * M$ ,

4. 得 最小整数解 为 $x_{min} = x_0 \% M$ .

证明#

当 $i \neq j$ 时 ， 有

$$a_{j} M_{j} t_{j} \equiv 0\left(\bmod \ m_{i}\right)$$

当 $i = j$ 时 ， 有

$$a_{i} M_{i} t_{i} \equiv a_{i}\left(\bmod \ m_{i}\right)$$

故满足$\sum_{i=1}^{k} a_{i} M_{i} t_{i} \equiv a_{i}\left(\bmod \ m_{i}\right)$