[NOI2015]寿司晚宴

题目大意：

\(A\)和\(B\)是\(\{2,3,\ldots,n\}(n\le500)\)的不相交的子集，且\(A\)中的任一元素都与\(B\)中任一元素互质。求有序对\((A,B)\)的种数。

思路：

OEIS中的说明：A260185。

考虑一个比较暴力的算法，首先求出每个数的质因数，\(f[i][s1][s2]\)表示前\(i\)个数，\(A\)中有的质因数是\(s1\)，\(B\)中有的质因数是\(s2\)。转移方程显然。

对于一个数\(x\)，大于\(\sqrt x\)的质因数最多只有一个，而\(\le \sqrt{500}\)的质因数只有\(8\)个，对这\(8\)个质因数进行状压。

考虑大于根号的质因数，我们可以将大于根号的质因数相等的那些数拿出来，对于这些数放在\(A/B\)的情况用\(f1\)和\(f2\)两个数组分开DP。最后将答案合并到\(f\)中。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
typedef long long int64;
const int N=501,P=8,M=1<<P;
const int p[]={2,3,5,7,11,13,17,19};
int mask[N],x[N],a[N],f[M][M],f1[M][M],f2[M][M];
inline bool cmp(const int &i,const int &j) {
	return x[i]<x[j];
}
int main() {
	const int n=getint(),mod=getint();
	for(register int i=2;i<=n;i++) {
		a[i]=x[i]=i;
		for(register int j=0;j<P;j++) {
			if(x[i]%p[j]!=0) continue;
			mask[i]|=1<<j;
			while(x[i]%p[j]==0) x[i]/=p[j];
		}
	}
	std::sort(&a[2],&a[n]+1,cmp);
	int i;
	f[0][0]=1;
	for(i=2;i<=n&&x[a[i]]==1;i++) {
		const int v=a[i];
		for(register int j=M-1;~j;j--) {
			for(register int k=M-1;~k;k--) {
				const int tmp=f[j][k];
				if(!(mask[v]&j)) (f[j][k|mask[v]]+=tmp)%=mod;
				if(!(mask[v]&k)) (f[j|mask[v]][k]+=tmp)%=mod;
			}
		}
	}
	for(;i<=n;i++) {
		if(x[a[i]]!=x[a[i-1]]) {
			memcpy(f1,f,sizeof f);
			memcpy(f2,f,sizeof f);
		}
		const int v=a[i];
		for(register int j=M-1;~j;j--) {
			for(register int k=M-1;~k;k--) {
				const int tmp1=f1[j][k],tmp2=f2[j][k];
				if(!(mask[v]&j)) (f2[j][k|mask[v]]+=tmp2)%=mod;
				if(!(mask[v]&k)) (f1[j|mask[v]][k]+=tmp1)%=mod;
			}
		}
		if(x[a[i+1]]!=x[a[i]]) {
			for(register int j=0;j<M;j++) {
				for(register int k=0;k<M;k++) {
					f[j][k]=((int64)f1[j][k]+f2[j][k]-f[j][k]+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(register int j=0;j<M;j++) {
		for(register int k=0;k<M;k++) {
			(ans+=f[j][k])%=mod;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}