[ZJOI2014]力

[ZJOI2014]力

题目大意：

给定\(q_{1\sim n}(n\le10^5)\)，求\(g_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(i-j)^2}+\sum_{i>j}\frac{q_j}{(i-j)^2}\)。

思路：

令\(f_i=\frac1{i^2}\)，则

\[g_i=\sum_{j=0}^{i-1}q_if_{i-j}-\sum_{j=i+1}^nq_jf_{j-i} \]

令\(p\)为\(q\)的翻转，\(a_i\)表示前半个和式，\(b_i\)表示后半个和式翻转，则

\[a_i=\sum_{j=0}^{i-1}q_if_{i-j} \]

\[b_i=\sum_{j=0}^{i-1}p_if_{i-j} \]

用FFT即可求出。
时间复杂度\(\mathcal O(n\log n)\)。

源代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<complex>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
inline double getdouble() {
	double x;
	scanf("%lf",&x);
	return x;
}
const int N=262144;
const double pi=M_PI;
typedef std::complex<double> comp;
int lim;
double ans[N];
comp q[N],ru[N],iru[N],p[N],f[N],a[N],b[N];
inline void init_ru(const int &n) {
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		ru[i]=(comp){cos(2*pi*i/n),sin(2*pi*i/n)};
		iru[i]=conj(ru[i]);
	}
}
inline void dft(comp f[],comp w[],const int &n) {
	for(register int i=0,j=0;i<n;i++) {
		if(i>j) std::swap(f[i],f[j]);
		for(register int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
	}
	for(register int i=2;i<=n;i<<=1) {
		const int m=i>>1;
		for(register int j=0;j<n;j+=i) {
			for(register int k=0;k<m;k++) {
				const comp z=f[j+m+k]*w[n/i*k];
				f[j+m+k]=f[j+k]-z;
				f[j+k]+=z;
			}
		}
	}
}
int main() {
	const int n=getint();
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		q[i]=getdouble();
	}
	for(lim=1;lim<n;lim<<=1);lim<<=1;
	init_ru(lim);
	std::copy(&q[0],&q[lim],&p[0]);
	std::reverse(&p[0],&p[lim]);
	for(register int i=1;i<n;i++) {
		f[i]=1./i/i;
	}
	dft(q,ru,lim);
	dft(p,ru,lim);
	dft(f,ru,lim);
	for(register int i=0;i<lim;i++) {
		a[i]=q[i]*f[i];
		b[i]=p[i]*f[i];
	}
	dft(a,iru,lim);
	dft(b,iru,lim);
	for(register int i=0;i<lim;i++) {
		a[i]/=lim;
		b[i]/=lim;
	}
	std::reverse(&b[0],&b[lim]);
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		printf("%f\n",a[i].real()-b[i].real());
	}
	return 0;
}