[NOI2017]整数
[NOI2017]整数
题目大意：
\(n(n\le10^6)\)次操作维护一个长度为\(30n\)的二进制整数\(x\)，支持以下两种操作：
- 将这个整数加上\(a\cdot2^b(|a|\le10^9,b\le30)\)。
- 询问这个整数第\(k\)位的值。
题目保证任何时刻\(x\ge0\)。
思路：
维护每一位的值，并在线段树上记录每个区间是否含有\(0\)或\(1\)，以便发生进退位时快速查找到进退位结束的位置。区间修改，单点查询。时间复杂度\(\mathcal O(n\log(30n))\)。显然会TLE。
考虑使用压位线段树，每\(30\)位压在一个叶子结点，修改操作可以枚举\(a\)的每一个二进制位\(1\)并进行相应的操作。由于\(a\)最多有\(\log a\)个二进制位，因此时间复杂度\(\mathcal O(n\log n\log a)\)。实测\(76\)分。
事实上，由于\(a\)在线段树中最多对应\(2\)个叶子结点，而叶子结点内部的进位就是整数加减法，不需要专门在线段树上查找。我们可以直接将\(a\)拆分成两次修改，时间复杂度\(\mathcal O(n\log n)\)。
源代码：
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
register char ch;
register bool neg=false;
while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return neg?-x:x;
}
const int N=1e6,base=30,lim=(1<<base)-1;
typedef long long int64;
int n;
inline int bel(const int &x) {
return x/base+1;
}
class SegmentTree {
#define _left <<1
#define _right <<1|1
#define mid ((b+e)>>1)
private:
bool have[2][N<<2];
int val[N],tag[N<<2];
void push_up(const int &p) {
have[0][p]=have[0][p _left]||have[0][p _right];
have[1][p]=have[1][p _left]||have[1][p _right];
}
void push_down(const int &p,const int &b,const int &e) {
if(tag[p]==-1) return;
b==mid?val[b]=lim*tag[p]:tag[p _left]=tag[p];
mid+1==e?val[e]=lim*tag[p]:tag[p _right]=tag[p];
have[tag[p]][p _left]=have[tag[p]][p _right]=true;
have[!tag[p]][p _left]=have[!tag[p]][p _right]=false;
tag[p]=-1;
}
public:
void build(const int &p,const int &b,const int &e) {
tag[p]=-1;
have[0][p]=true;
if(b==e) return;
build(p _left,b,mid);
build(p _right,mid+1,e);
}
int find(const int &p,const int &b,const int &e,const int &x,const bool &t) {
if(!have[t][p]) return 0;
if(b==e) {
const int tmp=(t?val[b]:~val[b])>>(bel(x)!=b?0:x%base);
if(tmp==0) return 0;
const int pos=__builtin_ffs(tmp)-1+(bel(x)!=b?0:x%base);
return pos<base?pos+(b-1)*base+1:0;
}
push_down(p,b,e);
if(bel(x)<=mid) {
return find(p _left,b,mid,x,t)?:find(p _right,mid+1,e,x,t);
} else {
return find(p _right,mid+1,e,x,t);
}
}
void modify(const int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r,const bool &t) {
if(tag[p]==t) return;
if(b==e) {
if(!t) val[b]=~val[b];
val[b]|=(1<<(r%base+1))-(1<<(l%base));
if(!t) val[b]=~val[b];
have[0][p]=lim-val[b];
have[1][p]=val[b];
return;
}
if(l==(b-1)*base&&r==e*base-1) {
tag[p]=t;
have[!t][p]=false;
have[t][p]=true;
return;
}
push_down(p,b,e);
if(bel(l)<=mid) modify(p _left,b,mid,l,std::min(mid*base-1,r),t);
if(bel(r)>mid) modify(p _right,mid+1,e,std::max(mid*base,l),r,t);
push_up(p);
}
void change(const int &p,const int &b,const int &e,const int &x,const bool &t) {
if(tag[p]==t) return;
if(b==e) {
val[b]^=1<<(x%base);
have[0][p]=lim-val[b];
have[1][p]=val[b];
return;
}
push_down(p,b,e);
if(bel(x)<=mid) change(p _left,b,mid,x,t);
if(bel(x)>mid) change(p _right,mid+1,e,x,t);
push_up(p);
}
bool query(const int &p,const int &b,const int &e,const int &x) {
if(!have[0][p]) return 1;
if(!have[1][p]) return 0;
if(b==e) return val[b]>>(x%base)&1;
return bel(x)<=mid?query(p _left,b,mid,x):query(p _right,mid+1,e,x);
}
bool modify2(const int &p,const int &b,const int &e,const int &x,const int &y,const bool &t) {
if(b==e) {
t?val[b]-=y:val[b]+=y;
const bool ret=val[b]<0||val[b]>lim;
if(val[b]>lim) val[b]-=lim+1;
if(val[b]<0) val[b]+=lim+1;
have[0][p]=lim-val[b];
have[1][p]=val[b];
return ret;
}
push_down(p,b,e);
bool ret;
if(x<=mid) ret=modify2(p _left,b,mid,x,y,t);
if(x>mid) ret=modify2(p _right,mid+1,e,x,y,t);
push_up(p);
return ret;
}
#undef _left
#undef _right
#undef mid
};
SegmentTree t;
int main() {
n=getint();
getint(),getint(),getint();
t.build(1,1,n);
for(register int i=0;i<n;i++) {
const int opt=getint();
if(opt==1) {
int a=getint();
const int b=getint();
const bool v=a<0;
if(v) a=-a;
const int t1=(int64)a<<(b%30)&lim;
const int t2=(((int64)a<<(b%30))-((int64)a<<(b%30)&lim))>>base;
if(t.modify2(1,1,n,bel(b),t1,v)) {
const int pos=t.find(1,1,n,bel(b)*30,v)-1;
t.change(1,1,n,pos,v);
if(pos>bel(b)*30) t.modify(1,1,n,bel(b)*30,pos-1,v);
}
if(t.modify2(1,1,n,bel(b)+1,t2,v)) {
const int pos=t.find(1,1,n,(bel(b)+1)*30,v)-1;
t.change(1,1,n,pos,v);
if(pos>(bel(b)+1)*30) t.modify(1,1,n,(bel(b)+1)*30,pos-1,v);
}
}
if(opt==2) {
printf("%d\n",t.query(1,1,n,getint()));
}
}
return 0;
}
