[CF842E]Nikita and game

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CF842E

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[CF842E]Nikita and game - skylee

题目大意：

一棵树初始只有一个编号为\(1\)的根结点。\(n(n\le3\times10^5)\)次操作，每次新增一个点作为\(p_i\)的子结点，询问更新后有多少点可以作为树直径的端点。

思路：

根据直径的一些性质，不难发现所有直径的相交部分一定是连续的一段。我们可以由此将所有可以作为端点的点分为三类：

1. 在连续段左边的点
2. 在连续段右边的点
3. 无所谓左边和右边的点（此时相交部分变成了一个点）

设集合\(S_1\)中为\(1\)类点，集合\(S_2\)中为\(2\)类点，而\(3\)类点归为其中任意一个集合都可以。不难发现，从\(S_1,S_2\)中分别随机选取一个点，两个点之间的路径一定是树的直径。

每次新加入一个点后，分别与\(S_1\)和\(S_2\)中任意一个点求距离，记为\(d_1,d_2\)。记当前树的直径为\(maxd\)，新加入的点为\(i\)。若\(\max(d_1,d_2)>maxd\)，则直径可以被更新。若\(d_1\)是新的\(maxd\)，则新的\(S_2=\{i\}\)。但原\(S_2\)中的元素并不一定全部失效，对于那些原本应当归为第\(3\)类的点\(j\)，若\(dis(i,j)=d_1\)，则将其归为\(S_1\)中。若\(d_2\)是新的\(maxd\)同理。

若\(\max(d_1,d_2)=maxd\)，将\(i\)加入到相应的点集即可。

点集\(S_1,S_2\)具有无序性，用std::vector即可实现（并不需要用std::set），插入和清空都是\(\mathcal O(1)\)，而LCA求距离时间复杂度\(\mathcal O(\log n)\)。总的时间复杂度为\(\mathcal O(n\log n)\)。而那些用std::set的虽然同样也是\(\mathcal O(n\log n)\)，但常熟要大不少，所以我的std::vector轻松跑到Rank2，比那些std::set不知道快到哪里去了（Rank1手写数组）。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x; 
}
const int N=3e5+2,logN=19;
int dep[N],anc[N][logN];
inline int lg2(const float &x) {
	return ((unsigned&)x>>23&255)-127;
}
inline void add_vertex(const int &x,const int &par) {
	dep[x]=dep[anc[x][0]=par]+1;
	for(register int i=1;i<=lg2(dep[x]);i++) {
		anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
	}
}
inline int lca(int x,int y) {
	if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
	for(register int i=lg2(dep[x]-dep[y]);i>=0;i--) {
		if(dep[anc[x][i]]>=dep[y]) x=anc[x][i];
	}
	for(register int i=lg2(dep[x]);i>=0;i--) {
		if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
			x=anc[x][i];
			y=anc[y][i];
		}
	}
	return x==y?x:anc[x][0];
}
inline int dist(const int &x,const int &y) {
	return dep[x]+dep[y]-dep[lca(x,y)]*2;
}
std::vector<int> s1,s2;
int main() {
	add_vertex(1,0);
	s1.push_back(1);
	const int n=getint()+1;
	s1.reserve(n);
	s2.reserve(n);
	for(register int i=2,maxd=0;i<=n;i++) {
		add_vertex(i,getint());
		int d1=s1.empty()?0:dist(i,s1[0]);
		int d2=s2.empty()?0:dist(i,s2[0]);
		if(std::max(d1,d2)>maxd) {
			maxd=std::max(d1,d2);
			if(maxd==d1) {
				for(register int &x:s2) {
					if(dist(x,i)==d1) {
						s1.push_back(x);
					}
				}
				s2.clear();
			} else {
				for(register int &x:s1) {
					if(dist(x,i)==d2) {
						s2.push_back(x);
					}
				}
				s1.clear();
			}
		}
		if(std::max(d1,d2)==maxd) {
			(maxd==d1?s2:s1).push_back(i);
		}
		printf("%lu\n",s1.size()+s2.size());
	}
	return 0;
}