[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition
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题目大意：
一个长度为\(k(k\le10^9)\)的\(01\)串，给出\(n+m(n,m\le10^5)\)个约束条件，其中\(n\)条描述区间\([l_i,r_i]\)至少有一个\(0\)，其中\(m\)条描述区间\([l_i,r_i]\)至少有一个\(1\)。求合法的\(01\)串数量。
思路：
显然直接考虑所有的\(k\)位，就算\(\mathcal O(k)\)的线性算法也会超时，因此对于所有的\(l_i-1,r_i\)以及\(0,k\)离散化以后考虑这些关键点即可。
设关键点有\(lim\)个，对所有关键点排序，\(tmp[i]\)为\(i\)离散化前对应的数。对所有关键点排序，考虑动态规划，设\(f[i][j\in\{0,1,2\}]\)表示从后往前考虑第\(i\sim lim\)个关键点。若\(j\in\{0,1\}\)，则\(f[i][j]\)表示\(tmp[i]\sim tmp[i+1]\)中含有\(j\)的方案数后缀和。若\(j=2\)，则\(f[i][j]\)表示最后一段同时有\(0\)和\(1\)的方案数。用\(min[j\in\{0,1\}][i]\)表示对应约束条件类型为\(j\)，\(i\)右侧最近的、对应左端点不在\(i\)左侧的右端点。状态转移方程如下：
- \(f[i][0]=f[i+1][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
- \(f[i][1]=f[i+1][1]+f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
- \(f[i][2]=f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
最终答案为\(f[0][2]\)。
时间复杂度\(\mathcal O((n+m)(\log(n+m)+\log k))\)。其中\(\mathcal O(\log(n+m))\)为离散化复杂度，\(\mathcal O(\log k)\)为快速幂复杂度。
源代码：
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using int64=long long;
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return x;
}
constexpr int N=1e5,mod=1e9+7;
std::pair<int,int> p[2][N];
int tmp[N*4+2],min[2][N*4+2],f[N*4+2][3];
inline int power(int a,int k) {
int ret=1;
for(;k;k>>=1) {
if(k&1) ret=(int64)ret*a%mod;
a=(int64)a*a%mod;
}
return ret;
}
int main() {
const int k=getint(),n=getint(),m=getint();
int lim=0;
for(register int i=0;i<n;i++) {
tmp[++lim]=p[0][i].first=getint()-1;
tmp[++lim]=p[0][i].second=getint();
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
tmp[++lim]=p[1][i].first=getint()-1;
tmp[++lim]=p[1][i].second=getint();
}
tmp[++lim]=k;
std::sort(&tmp[0],&tmp[lim]+1);
lim=std::unique(&tmp[0],&tmp[lim]+1)-&tmp[1];
for(register int i=0;i<=lim;i++) {
min[0][i]=min[1][i]=lim+1;
}
for(register int i=0;i<n;i++) {
p[0][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].first)-tmp;
p[0][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].second)-tmp;
min[0][p[0][i].first]=std::min(min[0][p[0][i].first],p[0][i].second);
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
p[1][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].first)-tmp;
p[1][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].second)-tmp;
min[1][p[1][i].first]=std::min(min[1][p[1][i].first],p[1][i].second);
}
for(register int i=lim;i;i--) {
min[0][i-1]=std::min(min[0][i-1],min[0][i]);
min[1][i-1]=std::min(min[1][i-1],min[1][i]);
}
f[lim][0]=f[lim][1]=f[lim][2]=1;
for(register int i=lim-1;i>=0;i--) {
int g[3];
g[0]=(f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+mod)%mod;
g[1]=(f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+mod)%mod;
g[2]=(int64)f[i+1][2]*((power(2,tmp[i+1]-tmp[i])-2+mod)%mod)%mod;
f[i][0]=((int64)f[i+1][0]+g[1]+g[2])%mod;
f[i][1]=((int64)f[i+1][1]+g[0]+g[2])%mod;
f[i][2]=((int64)g[0]+g[1]+g[2])%mod;
}
printf("%d\n",f[0][2]);
return 0;
}
