[AGC012F]Prefix Median

题目大意：
　　给定一个长度为$2n-1(n\le50)$的数组$a$，可以重排$a$中的元素，生成一个长度为$n$的数组$b$，其中$b_i$为$a_1\sim a_{2i-1}$的中位数。求对于给定的$a$能生成多少种不同的$b$。

思路：
　　对$a$进行排序，转化题意。求满足以下3个条件的长度为$n$的数列$b$的个数：
　　1.$b_i\in\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{2n-i}\}$；
　　2.对于$(i<j)$，不存在$b_i<b_j<b_{i+1}$；
　　3.对于$(i<j)$，不存在$b_i>b_j>b_{i+1}$。
　　用$f[i][j][k]$表示考虑$b$的第$i$位，比它小的可选数有$j$种，比它大的可选数有$k$种。即可用动态规划求得。
　　每次转移设$l=[a_i\ne a_{i-1}],r=[a_{m-i+1}\ne a_{m-i+2}]$，对应条件1，表示当前转移可以新填的数。若$a_i=a_{i-1}$或$a_{m-i+1}=a_{m-i+2}$则说明不会增加新填的数。
　　转移1：$f[i-1][j+l][k+r]+=f[i][j][k]$，即当前填的数还是上次的数，但是两边各多出$l$或$r$个可以填。
　　转移2：$f[i-1][t][k+r+1]+=f[i][j][k](t<j+l)$，表示若将当前填的数变小，左边还剩$t$个可以填，这里本来填的变成了右边的。
　　转移3：$f[i-1][j+l+1][t]+=f[i][j][k](t<k+r)$，表示若将当前填的数变大，右边还剩$t$个可以填，这里本来填的变成了左边的。
　　状态$O(n^3)$，转移$O(n)$，时间复杂度$O(n^4)$。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x; 
}
constexpr int mod=1e9+7;
constexpr int N=51,M=100;
int a[N],f[N][M][M];
int main() {
    const int n=getint(),m=n*2-1;
    for(register int i=1;i<=m;i++) a[i]=getint();
    std::sort(&a[1],&a[m]+1);
    f[n][0][0]=1;
    for(register int i=n;i>1;i--) {
        const bool l=a[i]!=a[i-1],r=a[m-i+1]!=a[m-i+2];
        for(register int j=0;j<=m;j++) {
            for(register int k=0;k<=m;k++) {
                if(!f[i][j][k]) continue;
                (f[i-1][j+l][k+r]+=f[i][j][k])%=mod;
                for(register int t=0;t<j+l;t++) {
                    (f[i-1][t][k+r+1]+=f[i][j][k])%=mod;
                }
                for(register int t=0;t<k+r;t++) {
                    (f[i-1][j+l+1][t]+=f[i][j][k])%=mod;
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(register int i=0;i<=m;i++) {
        for(register int j=0;j<=m;j++) {
            (ans+=f[1][i][j])%=mod;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}