[SDOI2015]约数个数和

题目大意：
　　$q(q\leq50000)$组询问，对于给定的$n,m(n,m\leq50000)$，求$\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\tau(ij)$。

思路：
　　$\displaystyle\tau(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)==1]$。

$$
\begin{align*}
原式&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)==1]\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\tau(\frac id)\tau(\frac jd)\\
&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\tau(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\tau(j)
\end{align*}
$$
　　其中$\sum\tau(i)$可以线性筛预处理，$d$可以数论分块枚举，单次询问复杂度$O(\sqrt n)$。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
typedef long long int64;
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=50001,M=5134;
bool vis[N];
int p[M],mu[N],tau[N],cnt[N],sum_mu[N],sum_tau[N];
inline void sieve() {
    mu[1]=tau[1]=sum_mu[1]=sum_tau[1]=1;
    for(register int i=2;i<N;i++) {
        if(!vis[i]) {
            p[++p[0]]=i;
            mu[i]=-1;
            cnt[i]=1;
            tau[i]=2;
        }
        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<N;j++) {
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;
                cnt[i*p[j]]=cnt[i]+1;
                tau[i*p[j]]=tau[i]/cnt[i*p[j]]*(cnt[i*p[j]]+1);
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
            cnt[i*p[j]]=1;
            tau[i*p[j]]=tau[i]*2;
        }
        sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
        sum_tau[i]=sum_tau[i-1]+tau[i];
    }
}
int main() {
    sieve();
    for(register int T=getint();T;T--) {
        const int n=getint(),m=getint(),lim=std::min(n,m);
        int64 ans=0;
        for(register int l=1,r;l<=lim;l=r+1) {
            r=std::min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(int64)(sum_mu[r]-sum_mu[l-1])*sum_tau[n/l]*sum_tau[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}