[SDOI2014]数表

题目大意：
　　$q(q\leq2\times10^4)$组询问，每次对于给定的$n,m,a(n,m\leq10^5,a\leq10^9)$，求$\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\sigma(\gcd(i,j))\leq a]\sigma(\gcd(i,j))$。

思路：
　　首先不考虑$a$的限制，原式=$\displaystyle\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{p=1}^{\min(\lfloor\frac n d\rfloor,\lfloor\frac m d\rfloor)}\mu(p)\lfloor\frac n{dp}\rfloor\lfloor\frac m{dp}\rfloor$。
　　令$T=dp$，则原式=$\displaystyle\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\sum_{d|T}\sigma(d)\mu(\frac T d)$。
　　设$\displaystyle g(T)=\sum_{d|T}\sigma(d)\mu(\frac T d)$，原式=$\displaystyle\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor g(T)$。
　　其中$g(T)$可以线性筛，求和可以数论分块。
　　考虑加入$a$的限制。按$a$的顺序离线处理询问，维护一个树状数组，其中第$i$位上的值$t_i$表示$g(i)$中$\sigma(d)\leq a$的数之和。可以先将所有的$\sigma(d)$排序，然后每组询问把$\leq a$的$\sigma(d)$乘上对应的$\mu$加入即可。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int Q=2e4,N=1e5+1,P=9593;
struct Query {
    int n,m,a,id;
    bool operator < (const Query &another) const {
        return a<another.a;
    }
};
Query q[Q];
struct Func {
    int x,y;
    bool operator < (const Func &another) const {
        return y<another.y;
    }
};
Func sigma[N];
bool vis[N];
int ans[Q],p[P],mu[N];
inline void sieve() {
    mu[1]=1;
    for(register int i=2;i<N;i++) {
        if(!vis[i]) {
            p[++p[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<N;j++) {
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(register int i=1;i<N;i++) {
        sigma[i].x=i;
        for(register int j=i;j<N;j+=i) {
            sigma[j].y+=i;
        }
    }
    std::sort(&sigma[1],&sigma[N]);
}
class FenwickTree {
    private:
        int val[N];
        int lowbit(const int &x) const {
            return x&-x;
        }
    public:
        void modify(int p,const int &x) {
            while(p<N) {
                val[p]+=x;
                p+=lowbit(p);
            }
        }
        int query(int p) const {
            int ret=0;
            while(p) {
                ret+=val[p];
                p-=lowbit(p);
            }
            return ret;
        }
};
FenwickTree t;
int main() {
    sieve();
    const int cnt_q=getint();
    for(register int i=0;i<cnt_q;i++) {
        const int n=getint(),m=getint(),a=getint();
        q[i]=(Query){n,m,a,i};
    }
    std::sort(&q[0],&q[cnt_q]);
    for(register int i=0,cur=1;i<cnt_q;i++) {
        for(;cur<N&&sigma[cur].y<=q[i].a;cur++) {
            for(register int j=sigma[cur].x;j<N;j+=sigma[cur].x) {
                t.modify(j,sigma[cur].y*mu[j/sigma[cur].x]);
            }
        }
        const int &n=q[i].n,&m=q[i].m,&id=q[i].id,lim=std::min(n,m);
        for(register int i=1,j;i<=lim;i=j+1) {
            j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans[id]+=(t.query(j)-t.query(i-1))*(n/i)*(m/i);
        }
    }
    for(register int i=0;i<cnt_q;i++) {
        printf("%d\n",ans[i]&INT_MAX);
    }
    return 0;
}