[POI2007]Tourist Attractions

题目大意：
　　给你一个$n(n\leq 2\times 10^4)$个点，$m(m\leq 2\times 10^5)$条边的带边权的连通图。其中有$k(k\leq 20)$个关键点。关键点之间有$g$条拓扑结构的依赖关系，每条依赖关系$(u,v)$描述点$v$依赖于点$u$，即点$u$必须在点$v$之前出现。若同时存在依赖关系$(u,v)$和$(v,w)$，则有依赖关系$(u,w)$。每个点可以经过多次，经过的可以不满足依赖关系。求一条从$1$到$n$的最短的路径，满足每个关键点至少有一次被经过时满足了依赖关系。

思路：
　　状压DP。
　　首先用Floyd预处理每个关键点依赖的点集$pre[i]$。然后用Dijkstra求出点$1$和每个关键点作为起点的单源最短路。
　　用$f[S][i]$表示已满足依赖关系的点集为$S$，当前路径上，最后一个结点为$i$。
　　预处理$f[i][i]=\left\{\begin{aligned}dis[1][i]&&{pre[i]=\varnothing}\\\infty&&pre[i]\neq\varnothing\end{aligned}\right.$。
　　转移方程为$f[S\bigcup i][i]=\min\{f[S][j]+dis[i][j]\mid i\notin S\land pre[i]\in S\}$。
　　答案$ans=\min{f[U][i]+dis[i][n]}$。
　　Floyd$O(k^3)$，配对堆优化Dijkstra$O(m+n\log n)$，动态规划$O(2^kk^2)$时间复杂度为$O(k^3+m+n\log n+2^kk^2)$。空间复杂度$O(2^kk)$。
　　在BZOJ上跑了9068 MS，内存89980 KB，Rank 2。但是POI原题内存是64 MB。
　　一种卡内存的方法是压缩一下状态，因为$f[S][i]$中$S$一定包括$i$，因此我们可以把$i$这一位去掉，然后把大于$i$的位往前移。空间除以一个常数，可以卡过。
　　还有一种做法是根据$S$中元素个数，将DP数组进行滚动，空间复杂度为$O(n\binom{k}{\lceil\frac{k}{2}\rceil})$。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<climits>
#include<functional>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=20001,K=20;
const int inf=INT_MAX;
struct Edge {
    int to,w;
};
std::vector<Edge> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v,const int &w) {
    e[u].push_back((Edge){v,w});
    e[v].push_back((Edge){u,w});
}
bool b[K][K];
int n,m,k,pre[K],dis0[N],dis[K][N],f[1<<K][K];
struct Vertex {
    int id,dis;
    bool operator > (const Vertex &another) const {
        return dis>another.dis;
    }
};
void dijkstra(const int &s,int dis[]) {
    static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> > q;
    static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> >::point_iterator p[N];
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        p[i]=q.push((Vertex){i,dis[i]=i==s?0:inf});
    }
    while(!q.empty()) {
        const int x=q.top().id;
        q.pop();
        for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
            const int &y=e[x][i].to,&w=e[x][i].w;
            if(dis[x]+w<dis[y]) {
                q.modify(p[y],(Vertex){y,dis[y]=dis[x]+w});
            }
        }
    }
}
int main() {
    n=getint(),m=getint(),k=getint();
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        const int u=getint(),v=getint(),w=getint();
        add_edge(u,v,w);
    }
    if(k==0) {
        dijkstra(1,dis0);
        printf("%d\n",dis0[n]);
        return 0;
    }
    for(register int i=getint();i;i--) {
        const int u=getint(),v=getint();
        b[u-2][v-2]=true;
    }
    for(register int l=0;l<k;l++) {
        for(register int i=0;i<k;i++) {
            if(i==l||!b[i][l]) continue;
            for(register int j=0;j<k;j++) {
                if(j==l||j==i||!b[l][j]) continue;
                b[i][j]=true;
            }
        }
    }
    for(register int i=0;i<k;i++) {
        for(register int j=0;j<k;j++) {
            if(b[i][j]) pre[j]|=1<<i;
        }
    }
    dijkstra(1,dis0);
    for(register int i=2;i<=k+1;i++) {
        dijkstra(i,dis[i-2]);
    }
    for(register int state=1;state<1<<k;state++) {
        for(register int i=0;i<k;i++) {
            f[state][i]=inf;
        }
    }
    for(register int i=0;i<k;i++) {
        if(!pre[i]) f[1<<i][i]=dis0[i+2];
    }
    for(register int state=1;state<1<<k;state++) {
        for(register int i=0;i<k;i++) {
            if(!(state&(1<<i))&&(state&pre[i])==pre[i]) {
                for(register int j=0;j<k;j++) {
                    if(f[state][j]!=inf) {
                        f[state^(1<<i)][i]=std::min(f[state^(1<<i)][i],f[state][j]+dis[j][i+2]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    int ans=inf;
    for(register int i=0;i<k;i++) {
        if(f[(1<<k)-1][i]==inf) continue;
        ans=std::min(ans,f[(1<<k)-1][i]+dis[i][n]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}