[NOIp2007提高组]矩阵取数游戏

OJ题号：洛谷1005

思路：

动态规划。

不难发现每行能够取得的最大值仅与当前行的数据有关，因此本题可以对每行的数据分别DP，最后求和。

设$f_{i,j}$表示左边取$i$个、右边取$j$个的最大值，则DP方程为$f_{i,j}=max(f_{i-1,j}+a_{i-1}*2^{i+j},f_{i,j-1}+a_{m-j}*2^{i+j})$。

然而数据规模较大，使用 int 只有40分，用 unsigned long long 只有60分。所以需要高精度，不过实现起来并不复杂。

另外有一些小小的优化，比如压位、预处理二的幂。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
class BigInt {
    private:
        static const int k=10000;
        int num[100],len;
    public:
        BigInt() {
            memset(num,0,sizeof num);
            len=0;
        }
        BigInt(const int len,const int num) {
            this->len=len;
            this->num[0]=num;
        }
        BigInt operator + (const BigInt &x) const {
            BigInt ans;
            for(int i=0;i<=(ans.len=std::max(this->len,x.len));i++) {
                ans.num[i]+=this->num[i]+x.num[i];
                ans.num[i+1]=ans.num[i]/k;
                ans.num[i]%=k;
            }
            if(ans.num[ans.len+1]) ans.len++;
            return ans;
        }
        BigInt operator * (const int &x) const {
            BigInt ans;
            for(int i=0;i<=(ans.len=this->len);i++) {
                ans.num[i]+=this->num[i]*x;
                ans.num[i+1]=ans.num[i]/k;
                ans.num[i]%=k;
            }
            if(ans.num[ans.len+1]) ans.len++;
            return ans;
        }
        bool operator < (const BigInt &x) const {
            if(this->len<x.len) return true;
            if(this->len>x.len) return false;
            for(int i=this->len;i>=0;i--) {
                if(this->num[i]<x.num[i]) return true;
                if(this->num[i]>x.num[i]) return false;
            }
            return false;
        }
        BigInt& operator = (const BigInt &x) {
            this->len=x.len;
            std::copy(&x.num[0],&x.num[len+1],this->num);
            return *this;
        }
        void print() {
            printf("%d",num[len]);
            for(int i=len-1;i>=0;i--) {
                printf("%04d",num[i]);
            }
            printf("\n");
        }
};
const int M=81;
BigInt pow[M]={BigInt(0,1)};
void calcpow(const int x) {
    pow[x]=pow[x-1]*2;
}
int main() {
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) calcpow(i);
    BigInt ans;
    while(n--) {
        int a[m];
        BigInt f[m+1][m+1];
        for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d",&a[i]);
        memset(f,0,sizeof f);
        BigInt max;
        for(int i=0;i<=m;i++) {
            for(int j=0;j<=m-i;j++) {
                if(i) f[i][j]=std::max(f[i][j],f[i-1][j]+pow[i+j]*a[i-1]);
                if(j) f[i][j]=std::max(f[i][j],f[i][j-1]+pow[i+j]*a[m-j]);
            }
            max=std::max(max,f[i][m-i]);
        }
        ans=ans+max;
    }
    ans.print();
    return 0;
}