连接

持续同调

构建VR复形(维托里斯-里普斯复形)

在二维平面中，构建从圆形结构中取样的VR复形的可视化的主要步骤：

 随着\epsilon-圆的大小不断变大，拓扑模型特征从诞生到消亡的图像。能保持更长时间的特征是有用的特征，而寿命很短的特征更可能是噪声。这个过程称为持续同调，因为它发现了在你持续变化 \epsilon 时，拓扑空间中持续存在的同源特征。

 

链群

单纯复形,  边界的边界总是 0

 

链复形

链复形： S 是一个单纯 p 复形。 C_n(S) 是 S 的 n 链， n≤p ，链复形 \mathscr C(S) 是  \mathscr C(S) = \sum^{p}_{n=0}\partial(C_n(S)) \\
换句话说
\mathscr C(S) = \partial(C_0(S)) + \partial(C_1(S)) \ + \ ... \ + \ \partial(C_p(S)) \\

现在我们可以定义怎么在单纯复形中找到 p 圈。

  • 核： \partial(C_n) 的核（记作 Ker(\partial(C_n)) ）是 n 链 Z_n \subseteq C_n 的群，其中 \partial(Z_n) = 0
  • 边界的像：边界 \partial_n （一些 n 链的边界）的像 Im(\partial_n) 是边界的集合

 

同调群

  • 第 n 个同调群：第 n 个同调群 H_n 定义为 H_n=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1} 。
  • 连通数：第 n 个连通数 b_n 定义为 H_n 的维度， b_n = dim(H_n) 。

 

贝蒂数

第 k 个贝蒂数是k维洞的个数。

A torus.
Ex. 环面的贝蒂数 b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1
  • b0： 连通分量的个数
  • b1： 1维或者 "circular" holes 的个数
  • b2 ： 2维 "voids" or "cavities"的个数

bk(X)=dim(Hk(X))：For a non-negative integer k, the kth Betti number bk(X) of the space X is defined as the rank (number of linearly independent generators) of the abelian group Hk(X), the kth homology group of X.

 

例子：

 

posted @ 2018-06-04 12:56  朱群喜_QQ囍_海疯习习  阅读(2616)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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