变分自编码器：原来是这么一回事
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分布变换
通常我们会拿VAE跟GAN比较，的确，它们两个的目标基本是一致的——希望构建一个从隐变量Z生成目标数据X的模型，但是实现上有所不同。更准确地讲，它们是假设了Z服从某些常见的分布（比如正态分布或均匀分布），然后希望训练一个模型X=g(Z)，这个模型能够将原来的概率分布映射到训练集的概率分布，也就是说，它们的目的都是进行分布之间的变换。
生成模型的难题就是判断生成分布与真实分布的相似度，因为我们只知道两者的采样结果，不知道它们的分布表达式
那现在假设Z服从标准的正态分布，那么我就可以从中采样得到若干个Z1,Z2,…,Zn，然后对它做变换得到X’1=g(Z1),X’2=g(Z2)…,X’n=g(Zn)g有读者说不是有KL散度吗？当然不行，因为KL散度是根据两个概率分布的表达式来算它们的相似度的，然而目前我们并不知道它们的概率分布的表达式，我们只有一批从构造的分布采样而来的数据{X’1,X’2…,X’n}，还有一批从真实的分布采样而来的数据{X1,X2,…,Xn}（也就是我们希望生成的训练集）。我们只有样本本身，没有分布表达式，当然也就没有方法算KL散度。
虽然遇到困难，但还是要想办法解决的。GAN的思路很直接粗犷：既然没有合适的度量，那我干脆把这个度量也用神经网络训练出来吧。就这样，WGAN就诞生了，详细过程请参考《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》。而VAE则使用了一个精致迂回的技巧。
VAE慢谈
这一部分我们先回顾一般教程是怎么介绍VAE的，然后再探究有什么问题，接着就自然地发现了VAE真正的面目。
经典回顾
这里我们就不区分求和还是求积分了，意思对了就行。此时p(X|Z)就描述了一个由Z来生成X的模型，而我们假设Z服从标准正态分布，也就是p(Z)=N(0,I)，如果这个理想能实现，那么我们就可以先从标准正态分布中采样一个Z，然后根据Z来算一个X，也是一个很棒的生成模型。
vae的传统理解
看出了什么问题了吗？如果像这个图的话，我们其实完全不清楚：究竟经过重新采样出来的Zk，是不是还对应着原来的Xk，所以我们如果直接最小化D(X’k,Xk)2（这里D代表某种距离函数）是很不科学的，而事实上你看代码也会发现根本不是这样实现的。也就是说，很多教程说了一大通头头是道的话，然后写代码时却不是按照所写的文字来写，可是他们也不觉得这样会有矛盾～
VAE初现
其实，在整个VAE模型中，我们并没有去使用p(Z)（先验分布）是正态分布的假设，我们用的是假设p(Z|X)（后验分布）是正态分布！！
具体来说，给定一个真实样本Xk，我们假设存在一个专属于Xk的分布p(Z|Xk)（学名叫后验分布），并进一步假设这个分布是（独立的、多元的）正态分布。为什么要强调“专属”呢？因为我们后面要训练一个生成器X=g(Z)，希望能够把从分布p(Z|Xk)采样出来的一个Zk还原为Xk。如果假设p(Z)是正态分布，然后从p(Z)中采样一个Z，那么我们怎么知道这个Z对应于哪个真实的X呢？现在p(Z|Xk)专属于Xk，我们有理由说从这个分布采样出来的Z应该要还原到Xk中去。
这时候每一个Xk都配上了一个专属的正态分布，才方便后面的生成器做还原。但这样有多少个X就有多少个正态分布了。我们知道正态分布有两组参数：均值μ和方差σ2（多元的话，它们都是向量），那我怎么找出专属于Xk的正态分布p(Z|Xk)的均值和方差呢？好像并没有什么直接的思路。那好吧，那我就用神经网络来拟合出来吧！这就是神经网络时代的哲学：难算的我们都用神经网络来拟合，在WGAN那里我们已经体验过一次了，现在再次体验到了。
于是我们构建两个神经网络μk=f1(Xk),logσ2=f2(Xk)来算它们了。我们选择拟合logσ2l而不是直接拟合σ2，是因为σ2总是非负的，需要加激活函数处理，而拟合logσ2不需要加激活函数，因为它可正可负。到这里，我能知道专属于Xk的均值和方差了，也就知道它的正态分布长什么样了，然后从这个专属分布中采样一个Zk出来，然后经过一个生成器得到X’k=g(Zk)，现在我们可以放心地最小化D(X’k,Xk)2，因为Zk是从专属Xk的分布中采样出来的，这个生成器应该要把开始的Xk还原回来。于是可以画出VAE的示意图：
事实上，vae是为每个样本构造专属的正态分布，然后采样来重构
分布标准化
让我们来思考一下，根据上图的训练过程，最终会得到什么结果。
首先，我们希望重构X，也就是最小化D(X’k,Xk)2，但是这个重构过程受到噪声的影响，因为Zk是通过重新采样过的，不是直接由encoder算出来的。显然噪声会增加重构的难度，不过好在这个噪声强度（也就是方差）通过一个神经网络算出来的，所以最终模型为了重构得更好，肯定会想尽办法让方差为0。而方差为0的话，也就没有随机性了，所以不管怎么采样其实都只是得到确定的结果（也就是均值），只拟合一个当然比拟合多个要容易，而均值是通过另外一个神经网络算出来的。
说白了，模型会慢慢退化成普通的AutoEncoder，噪声不再起作用。
别急别急，其实VAE还让所有的p(Z|X)都向标准正态分布看齐，这样就防止了噪声为零，同时保证了模型具有生成能力。怎么理解“保证了生成能力”呢？如果所有的p(Z|X)都很接近标准正态分布N(0,I)，那么根据定义
这样我们就能达到我们的先验假设：p(Z)是标准正态分布。然后我们就可以放心地从N(0,I)中采样来生成图像了。
为了使模型具有生成能力，vae要求每个p(Z|X)都向正态分布看齐
那怎么让所有的p(Z|X)都向N(0,I)看齐呢？如果没有外部知识的话，其实最直接的方法应该是在重构误差的基础上中加入额外的loss：
因为它们分别代表了均值μk和方差的对数logσ2，达到N(0,I)就是希望二者尽量接近于0了。不过，这又会面临着这两个损失的比例要怎么选取的问题，选取得不好，生成的图像会比较模糊。所以，原论文直接算了一般（各分量独立的）正态分布与标准正态分布的KL散度 KL(N(μ,σ2)∥N(0,I))作为这个额外的loss，计算结果为
这里的d是隐变量Z的维度，而μ(i)和σ2(i)分别代表一般正态分布的均值向量和方差向量的第i个分量。直接用这个式子做补充loss，就不用考虑均值损失和方差损失的相对比例问题了。显然，这个loss也可以分两部分理解：
重参数技巧
重参数技巧
最后是实现模型的一个技巧，英文名是reparameterization trick，我这里叫它做重参数吧。其实很简单，就是我们要从p(Z|Xk)中采样一个Zk出来，尽管我们知道了p(Z|Xk)是正态分布，但是均值方差都是靠模型算出来的，我们要靠这个过程反过来优化均值方差的模型，但是“采样”这个操作是不可导的，而采样的结果是可导的。我们利用
这说明(z−μ)/σ=ε是服从均值为0、方差为1的标准正态分布的，要同时把dz考虑进去，是因为乘上dz才算是概率，去掉dz是概率密度而不是概率。这时候我们得到：
从N(μ,σ2)中采样一个Z，相当于从N(0,I)中采样一个ε，然后让Z=μ+ε×σ
于是，我们将从N(μ,σ2)采样变成了从N(0,I)中采样，然后通过参数变换得到从N(μ,σ2)中采样的结果。这样一来，“采样”这个操作就不用参与梯度下降了，改为采样的结果参与，使得整个模型可训练了。
具体怎么实现，大家把上述文字对照着代码看一下，一下子就明白了～
后续分析
即便把上面的所有内容都搞清楚了，面对VAE，我们可能还存有很多疑问。
本质是什么
VAE的本质是什么？VAE虽然也称是AE（AutoEncoder）的一种，但它的做法（或者说它对网络的诠释）是别具一格的。在VAE中，它的Encoder有两个，一个用来计算均值，一个用来计算方差，这已经让人意外了：Encoder不是用来Encode的，是用来算均值和方差的，这真是大新闻了，还有均值和方差不都是统计量吗，怎么是用神经网络来算的？
事实上，我觉得VAE从让普通人望而生畏的变分和贝叶斯理论出发，最后落地到一个具体的模型中，虽然走了比较长的一段路，但最终的模型其实是很接地气的：它本质上就是在我们常规的自编码器的基础上，对encoder的结果（在VAE中对应着计算均值的网络）加上了“高斯噪声”，使得结果decoder能够对噪声有鲁棒性；而那个额外的KL loss（目的是让均值为0，方差为1），事实上就是相当于对encoder的一个正则项，希望encoder出来的东西均有零均值。
那另外一个encoder（对应着计算方差的网络）的作用呢？它是用来动态调节噪声的强度的。直觉上来想，当decoder还没有训练好时（重构误差远大于KL loss），就会适当降低噪声（KL loss增加），使得拟合起来容易一些（重构误差开始下降）；反之，如果decoder训练得还不错时（重构误差小于KL loss），这时候噪声就会增加（KL loss减少），使得拟合更加困难了（重构误差又开始增加），这时候decoder就要想办法提高它的生成能力了。
vae的本质结构
说白了，重构的过程是希望没噪声的，而KL loss则希望有高斯噪声的，两者是对立的。所以，VAE跟GAN一样，内部其实是包含了一个对抗的过程，只不过它们两者是混合起来，共同进化的。从这个角度看，VAE的思想似乎还高明一些，因为在GAN中，造假者在进化时，鉴别者是安然不动的，反之亦然。当然，这只是一个侧面，不能说明VAE就比GAN好。GAN真正高明的地方是：它连度量都直接训练出来了，而且这个度量往往比我们人工想的要好（然而GAN本身也有各种问题，这就不展开了）。
