Dijkstra最短路算法
Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图（无向可以转化为双向有向），把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离dist[v]为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离dis[u]为边上的权值（若v与u有边） ）或∞（若u不是v的出边邻接点即没有边<v,u>）。
（2）从U中选取一个距离v(dist[k])最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u∈ U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权(即如果dist[k]+w[k,u]<dist[u]，那么把dist[u]更新成更短的距离dist[k]+w[k,u])。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中(要循环n-1次)
Dijkstra算法实现
直接实现
最简单的实现方法就是，在每次循环中，再用一个循环找距离最短的点，然后用任意的方法更新与其相邻的边，时间复杂度显然为O(n²)
对于空间复杂度：如果只要求出距离，只要n的附加空间保存距离就可以了（距离小于当前距离的是已访问的节点，对于距离相等的情况可以比较编号或是特殊处理一下）。如果要求出路径则需要另外V的空间保存前一个节点，总共需要2n的空间。
/********************************* * 最短路径---Dijkstra算法实现 * HDU：2544 * BLOG:www.cnblogs.com/newwy * AUTHOR:Wang Yong **********************************/ #include <iostream> #define MAX 100 #define INF 1000000000 using namespace std; int dijkstra (int mat[][MAX],int n, int s,int f) { int dis[MAX]; int mark[MAX];//记录被选中的结点 int i,j,k = 0; for(i = 0 ; i < n ; i++)//初始化所有结点，每个结点都没有被选中 mark[i] = 0; for(i = 0 ; i < n ; i++)//将每个结点到start结点weight记录为当前distance { dis[i] = mat[s][i]; //path[i] = s; } mark[s] = 1;//start结点被选中 //path[s] = 0; dis[s] = 0;//将start结点的的距离设置为0 int min ;//设置最短的距离。 for(i = 1 ; i < n; i++) { min = INF; for(j = 0 ; j < n;j++) { if(mark[j] == 0 && dis[j] < min)//未被选中的结点中，距离最短的被选中 { min = dis[j] ; k = j; } } mark[k] = 1;//标记为被选中 for(j = 0 ; j < n ; j++) { if( mark[j] == 0 && (dis[j] > (dis[k] + mat[k][j])))//修改剩余结点的最短距离 { dis[j] = dis[k] + mat[k][j]; } } } return dis[f]; } int mat[MAX][MAX]; int main() { int n,m; while(scanf("%d %d",&n,&m)) { int a,b,dis; if(n == 0 || m == 0) break; int i,j; for(i = 0 ; i < n;i++) for(j = 0 ; j < n; j++) mat[i][j] = INF; for(i = 0 ; i < m ;i++) { scanf("%d %d %d",&a,&b,&dis); --a,--b; if(dis < mat[a][b] || dis < mat[b][a]) mat[a][b] = mat[b][a] = dis; } int ans = dijkstra(mat,n,0,n-1); printf("%d\n",ans); } }
二叉堆实现
使用邻接矩阵实现的dijkstra算法的复杂度是O(V²)。使用邻接表的话，更新最短距离只需要访问每条边一次即可，因此这部分的复杂度是O(E).但是每次要枚举所有的顶点来查找下一个使用的顶点，因此最终复杂度还是O(V²)。在|E|比较小时，大部分的时间都花在了查找下一个使用的顶点上，因此需要使用合适的数据结构进行优化。
需要优化的是数值的插入(更新)和取出最小值两个操作，因此使用堆就可以了。把每个顶点当前的最短距离用堆来维护，在更新最短距离时，把对应的元素往根的方向移动以满足堆的性质。而每次从堆中取出的最小值就是下一次要用的顶点。这样堆中的元素共有O(V)个，更新和取出的操作有O(E)次，因此整个算法的复杂度是O(ElogV)。
下面是使用STL的priority_queue实现。在每次更新时往堆里插入当前最短距离和顶点的值对。插入的次数是O(E)次，当取出的最小值不是最短距离的话，就丢弃这个值。这样整个算法也可以在同样的时间内完成。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; /* * 使用优先队列优化Dijkstra算法 * 复杂度O(ElogE) * 注意对vector<Edge>E[MAXN]进行初始化后加边 */ const int INF=0x3f3f3f3f; const int MAXN=1000010; struct qnode { int v; int c; qnode(int _v=0,int _c=0):v(_v),c(_c){} bool operator <(const qnode &r)const { return c>r.c; } }; struct Edge { int v,cost; Edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost){} }; vector<Edge>E[MAXN]; bool vis[MAXN]; int dist[MAXN]; void Dijkstra(int n,int start)//点的编号从1开始 { memset(vis,false,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=INF; priority_queue<qnode>que; while(!que.empty())que.pop(); dist[start]=0; que.push(qnode(start,0)); qnode tmp; while(!que.empty()) { tmp=que.top(); que.pop(); int u=tmp.v; if(vis[u])continue; vis[u]=true; for(int i=0;i<E[u].size();i++) { int v=E[tmp.v][i].v; int cost=E[u][i].cost; if(!vis[v]&&dist[v]>dist[u]+cost) { dist[v]=dist[u]+cost; que.push(qnode(v,dist[v])); } } } } void addedge(int u,int v,int w) { E[u].push_back(Edge(v,w)); } int main() { int n,m; int T; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++)E[i].clear(); for(int i=0;i<m;i++) { int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); addedge(u,v,w); //addedge(v,u,w);无向图 } Dijkstra(n,1); //单源最短路，dist[i]为从源点start到i的最短路 } return 0; }
