UVa10426
GCD Extreme (II)
Input: Standard Input Output:
Standard Output
Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:
Here GCD(i,j) means the greatest common divisor of integer i and integer j. For those who have trouble understanding summation notation, the meaning of G is given in the following code: G=0; for(i=1;i<N;i++) for(j=i+1;j<=N;j++) { G+=gcd(i,j); } /*Here gcd() is a function that finds the greatest common divisor of the two input numbers*/ Input The input file contains at most 100 lines of inputs. Each line contains an integer N (1<N<4000001). The meaning of N is given in the problem statement. Input is terminated by a line containing a single zero. Output For each line of input produce one line of output. This line contains the value of G for the corresponding N. The value of G will fit in a 64-bit signed integer. Sample Input
10 100 200000 0
Output for Sample Input
67 13015 143295493160
Problemsetter: Shahriar Manzoor
Special Thanks: Syed Monowar Hossain
/* 【题意】
求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n)1<n<4000001
【题解】 1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);
2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。
gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。
而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。
3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表
用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。
*/
/* 欧拉函数的应用，以后看到互质的数第一个就要想到欧拉函数。今天又学到了好多家伙。 欧拉定理： 欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 费马小定理： 且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 */
1 //1285ms 2 3 #include<stdio.h> 4 #include<string.h> 5 #include<algorithm> 6 #include<math.h> 7 #include<queue> 8 #include<set> 9 #include<vector> 10 #include<bitset> 11 using namespace std; 12 typedef long long ll; 13 14 const int M=4000010; 15 int phi[M]; 16 ll s[M],f[M];//f[n]=sum(phi[i]*j) (i*j=n) (去掉n*phi[1],因为gcd（n,n）不符合题意！！) 17 18 int get(){ 19 char c; 20 int res=0; 21 while(c=getchar(),!isdigit(c)); 22 do{ 23 res=(res<<3)+(res<<1)+(c-'0'); 24 }while(c=getchar(),isdigit(c)); 25 return res; 26 } 27 28 29 void phi_table()//类似素数刷表！！ 30 { 31 phi[1]=1; 32 for(int i=2;i<M;i++)phi[i]=i; 33 for(int i=2;i<M;i+=2)phi[i]/=2; 34 for(int i=3;i<M;i+=2) 35 if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！ 36 for(int j=i;j<M;j+=i) 37 { 38 phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！ 39 } 40 } 41 42 int main() 43 { 44 int n,i,j,k; 45 phi_table(); 46 memset(f,0,sizeof(f)); 47 phi[1]=0; 48 for(i=1;i<(int)sqrt(M);i++) 49 { 50 f[i*i]+=phi[i]*i; 51 for(n=i*i+i;n<M;n+=i) 52 f[n]+=(ll)(i*phi[n/i]+n/i*phi[i]);//之前令phi[1]=0；因为gcd(n,n)不符合题意！！ 53 } 54 s[2]=1; 55 for( n=3;n<M;n++) s[n]=s[n-1]+f[n]; 56 while(1) 57 { 58 n=get(); 59 if(n==0)break; 60 printf("%lld\n",s[n]); 61 } 62 return 0; 63 } 64 65 66 67 68 69 //2382ms 70 #include<stdio.h> 71 #include<string.h> 72 #include<algorithm> 73 #include<math.h> 74 #include<queue> 75 #include<set> 76 #include<vector> 77 #include<bitset> 78 using namespace std; 79 typedef long long ll; 80 81 const ll M=4000010; 82 ll phi[M]; 83 ll s[M],f[M]; 84 85 void phi_table()//类似素数刷表！！ 86 { 87 phi[1]=1; 88 for(int i=2;i<M;i++)phi[i]=i; 89 for(int i=2;i<M;i+=2)phi[i]/=2; 90 for(int i=3;i<M;i+=2) 91 if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！ 92 for(int j=i;j<M;j+=i) 93 { 94 phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！ 95 } 96 } 97 int main() 98 { 99 phi_table(); 100 memset(f,0,sizeof(f)); 101 for(int i=1;i<M;i++) 102 for(int n=i+i;n<M;n+=i) 103 f[n]+=i*phi[n/i]; 104 s[2]=1; 105 for(int n=3;n<M;n++) s[n]=s[n-1]+f[n]; 106 int n; 107 while(scanf("%d",&n)==1&&n) 108 { 109 printf("%lld\n",s[n]); 110 } 111 return 0; 112 } 113 114 115 116 117 118 #include<stdio.h> 119 #include<string.h> 120 #include<algorithm> 121 #include<math.h> 122 #include<queue> 123 #include<set> 124 #include<vector> 125 #include<bitset> 126 using namespace std; 127 typedef long long ll; 128 129 const ll M=4100000; 130 ll phi[2*M]; 131 ll s[M],f[M]; 132 133 void phi_table()//类似素数刷表！！ 134 { 135 for(int i=2;i<=M;i++)phi[i]=0; 136 phi[1]=1; 137 for(int i=2;i<=M;i++) 138 if(!phi[i])//说明i是素数！！！ 139 for(int j=i;j<=M;j+=i) 140 { 141 if(!phi[j])phi[j]=j; 142 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//保证i是素数且是j的素因子！！！ 143 } 144 } 145 int main() 146 { 147 phi_table(); 148 memset(f,0,sizeof(f)); 149 for(int i=1;i<=M;i++) 150 for(int n=i+i;n<=M;n+=i) 151 f[n]+=i*phi[n/i]; 152 s[2]=1; 153 for(int n=3;n<=M;n++) s[n]=s[n-1]+f[n]; 154 int n; 155 while(scanf("%d",&n)==1&&n) 156 { 157 printf("%lld\n",s[n]); 158 } 159 return 0; 160 }
