k-d tree算法
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k-d树(k-dimensional树的简称)核心: 构建索引树,快速查找
下面是6个二维数据点{(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)}的k-d树空间划分示意图
二维数据k-d树空间划分示意图
算法主要有两步骤:
- 确定split的dimension:统计数据点每个dimension上的数据方差,选取方差最大的哪个dimension
- 确定数据分割点:当前数据点集按其第split的那个dimension排序。位于正中间的那个数据点被选为Node-data,作为分割点
- 重复上述两个步骤,知道当前数据点集为空。
上述实例生成的k-d树
PS:每一级节点旁边的'x'和'y'表示以该节点分割左右子空间时split所取的dimension。
k-d树上的最邻近查找算法
关键:’回溯‘操作 -- 通过二叉搜索,顺着搜索路径很快就能找到最邻近的近似点。而找到的叶子节点并不一定就是最邻近的,最邻近肯定距离查询点更近,应该位于以查询点为圆心且通过叶子节点的圆域内。为了找到真正的最近邻,还需要进行'回溯'操作:算法沿搜索路径反向查找是否有距离查询点更近的数据点
一个复杂点的例子如查找点为(2,4.5)。先进行二叉查找,先从(7,2)查找到(5,4)节点,在进行查找时是由y = 4为分割超平面的,由于查找点为y值为4.5,因此进入右子空间查找到(4,7),形成搜索路径<(7,2),(5,4),(4,7)>,取(4,7)为当前最近邻点,计算其与目标查找点的距离为3.202。然后回溯到(5,4),计算其与查找点之间的距离为3.041。以(2,4.5)为圆心,以3.041为半径作圆,如图5所示。可见该圆和y = 4超平面交割,所以需要进入(5,4)左子空间进行查找。此时需将(2,3)节点加入搜索路径中得<(7,2),(2,3)>。回溯至(2,3)叶子节点,(2,3)距离(2,4.5)比(5,4)要近,所以最近邻点更新为(2,3),最近距离更新为1.5。回溯至(7,2),以(2,4.5)为圆心1.5为半径作圆,并不和x = 7分割超平面交割,如图6所示。至此,搜索路径回溯完。返回最近邻点(2,3),最近距离1.5。k-d树查询算法的伪代码如表3所示。
查找(2,4.5)点的第一次回溯判断
查找(2,4.5)点的第二次回溯判断